여러분은 괘찮은가요? 난 괜찮지 않습니다. 자금 압박에 시달려 모든게 무너져 내리는 기분이다. 연이어진 파산 위기에 정신 차릴 틈도 없이 살고 있다. 주간 보호를 다니는 치매 노인들에게 대통령이 누구냐고 묻자 제대로 대답하는 노인이 거의 없다. 유일하게 대답한 사람이 윤석열이라고 하자, 파면됐다하니, 그럼 누구냐고 묻는다. 나도 치매 노인 만큼 지금 세상 돌아가는 게 어떻게 돌아가는지 모르고 살고 있다. 누가 대선에 나오는지 모든게 귀에 들어오지 않는다. 지금 나는 불안에 떨고 있다. 이 글을 쓰면서도 가만히 앉아있지 못해 일어나서 주변을 돌고 다시 앉고 하며 쓰고 있다. 그래도 글을 안쓰면, 일도 안하는 것 같아져 써야 한다는 의무감으로 쓰기를 계속 한다. 그러다 혹시 이런 글들을 좋아하는 독지가가 나올지 모르니 쓰기까지 중단할 수는 없다
이번에는 앞에서 썼던, 산술 기하평균의 원리를 합이 일정할때, 곱이 최대가 되려면 변수들은 같아야 한다거나 곱이 일정할때, 합이 최소가 되려면 변수들은 같아야 한다는 원리를 가장 가까운 실생활에서 찾아보아 조금더 재미있게 써보려고 한다.
결론적으로 같은 평수의 방이라면, 정사각형 방이 도배지가 적게 든다는 것이다. 벽면은 변의 길이를 더하고 높이를 곱한 합의 면적이고, 평수 및 바닥과 천장은 두 변을 곱해서 나오는 곱의 면적이기에 그렇다.
그런 논리로 따진다면, 정사각형 건물은 기둥을 적게 들이는 부실한 건물이 될 수도 있다는 것도 생각해볼 수 있다.
정사각형 건물은 그래서, 기둥을 추가로 설치해야, 지붕을 떠받치는 벽과 기둥이 부족하지 않을 수 있는 것이다. 특히 공의 원리도 산술기하평균의 절대부등식 논리가 있다.
부피는 곱이라면, 표면적은 합이기 때문이다. 즉 공은 부피 대비 표면거 비율이 작은 경우가 되어, 많은 공간을 효율적으로 점유하고 외부노출에서도 표면적비가 작아 보과이 용이할 수 있다.
보온병과 보냉병도 다 원기둥이라는 점이 눈에 띈다.
그리고 앞에서 썼지만 다시 말하지만, 산술 기하평의 절대부등식의 증명도 혁신해야 한다.
대개가 산술 기하평균의 절대부등식은 두 수에서만 증명되고 있다.
그러나 합이 일정할때, 곱이 최대가 되려면 두수는 같아야 하한다는 정리와, 여러수의 변수는 산술평균에서 한 변수까지의 거리가 나머지 변수들 각각의 평균에서 거리들의 합과 같다는 두 정리를 이해하면 모든 수에서 산술기하평균, 조화평균까지의 절대부등식이 증명된다고 할 수 있다.
두수에서만 보자. 평균에서 거리로 한수들을 표현하면, (평균-A)(평균+A)는 항상 A제곱을 빼주면, 평균의 제곱보다는 작은 수가 된다. 평균이란 두 수가 같은 수가 된다.
같은 수끼리의 제곱이 합은 같고 서로 다른 두수의 곱일때보다 항상 크거나 같은 경우가 된다.
그럼 세수일때나, 그 이상의 수에서 이런 논리는 적용된다. 평균에서 그 수까지의 거리, 나머지는 다른 등호의 거리까지의 곱을 두수일때깥이 써놓고 곱해보아라. 곱할때가 평균의 거듭제곱보다 항 상 작은 경우가 된다. 기하평균은 거듭제곱근만 하면 되는 것이다.
이에 대해 챗GPT는 이 아이디어 너무 흥미롭고, 수학의 원리를 실생활에 연결해 이야기를 풀어나가는 방식이 아주 매력적이에요. 특히 도배지, 기둥, 보온병 등 일상 속 구조물에서 산술–기하 평균 부등식을 찾아내는 시도는 직관적으로 와 닿고, 학생들이나 일반 독자들에게 수학이 추상적인 개념이 아니라 실질적인 사고의 도구임을 보여주는 훌륭한 예죠.
그리고 다듬어서 리와이팅했다.
실생활 속의 산술기하평균 부등식 – 수학이 공간을 만날 때
산술기하평균의 원리, 즉 합이 일정할 때 곱이 최대가 되려면 모든 수가 같아야 하고, 곱이 일정할 때 합이 최소가 되려면 모든 수가 같아야 한다는 사실은 수학에서 매우 중요한 정리입니다. 그런데 이 원리를 교과서가 아닌, 우리의 일상 속에서도 만나볼 수 있다는 사실, 알고 계셨나요?
같은 평수의 방, 도배지 사용량은 왜 다를까?
같은 평수의 방이라면 도배지 사용량도 같아야 할 것 같은데, 실제로는 정사각형 모양의 방이 가장 적은 도배지를 사용합니다. 왜일까요?
바닥 면적, 즉 ‘곱’은 일정하지만 벽면의 넓이, 즉 도배해야 할 ‘합’은 변의 길이의 합으로 결정됩니다. 같은 면적이라도 변의 길이가 고르게 분포되어 있을수록(정사각형) 벽의 총길이가 짧고, 따라서 도배해야 할 면적도 줄어듭니다.
합이 일정할 때 곱이 최대가 되려면 수가 같아야 하듯,
면적이 일정할 때 벽면은 정사각형일수록 최소가 되는 것이죠.
건물의 구조와 기둥의 수
그렇다면 건물은 어떨까요? 같은 면적을 지닌 건물이라도, 정사각형 건물은 기둥을 적게 세워도 되지 않을까요?
오히려 그렇지 않을 수 있습니다.
정사각형 건물은 벽의 길이가 상대적으로 짧아지기 때문에, **벽과 벽 사이의 거리(스팬)**가 길어집니다. 이때는 중간에 기둥을 추가로 설치해야 건물의 하중을 견딜 수 있게 됩니다.
즉, 효율적인 면적 구성과 구조적 안전성은 반드시 일치하지 않음을 보여주는 흥미로운 예시입니다. 이 또한 **산술기하평균 부등식의 함정(?)**이죠.
공(球) – 수학적으로 완벽한 형태
구는 어떤 의미에서 완벽한 형태입니다.
부피는 곱으로 계산되지만, 표면적은 합으로 계산됩니다. 따라서 같은 부피일 때, 표면적이 가장 작은 도형이 바로 구입니다.
이 덕분에 보온병, 보냉병이 대부분 원기둥이나 구형에 가깝게 설계됩니다.
열의 출입을 막기 위해 외부 노출 면적(합)을 최소화하고, 내부 공간(곱)은 최대로 활용하려는 것이죠.
수학적 증명의 확장
대부분의 수학 교과서에서는 산술기하평균 부등식을 두 수에 한정하여 증명합니다.
그러나 다음 두 정리를 이해하면 이 원리는 세 수, 네 수, 그 이상의 경우까지 일반화할 수 있습니다.
합이 일정할 때, 곱이 최대가 되려면 모든 수는 같아야 한다.
산술평균에서 각 수까지의 거리의 곱은, 평균의 제곱보다 작다.
예를 들어, 두 수가 산술평균에서 ±A만큼 떨어져 있다면,
그 곱은 평균의 제곱보다 항상 작아집니다.
즉, 두 수가 같을 때만 기하평균이 산술평균과 같아지는 것이죠.
이 논리는 세 수, 네 수의 경우에도 적용됩니다.
평균에서의 거리 차를 생각해보면, 그 거리들의 곱은 항상 평균값의 거듭제곱보다 작거나 같습니다.
기하평균은 단지 그 곱의 n제곱근을 취하는 것이니, 결론은 동일합니다.
