강동진 제안
순환마디길이 판별의 새로운 접근
― 강동진 나머지 연접법
순환소수의 순환마디길이를 구하는 대표적인 방법으로는 나눗셈 과정에서 나머지를 추적하는 방법과 10의 거듭제곱을 이용하는 방법이 있다.
필자는 여기에 새로운 계산 절차인 강동진 나머지 연접법(Kang's Remainder Concatenation Method)을 제안한다.
이 방법은 이전 단계에서 얻은 나머지의 끝에 숫자 1을 이어 붙여 다음 계산을 수행하는 방식으로 순환마디길이를 구하는 계산법이다.
다만 본 방법은 현재까지의 계산 결과를 바탕으로 소인수가 2와 5만으로 이루어진 수와, 소인수가 3만으로 이루어진 수(3, 9, 27, 81, …)는 적용 대상에서 제외한다.
1. 나눗셈(나머지 추적) 방법
가장 기본적인 방법이다.
분수를 나누면서 나머지를 계속 기록하고, 처음 나왔던 나머지가 다시 나타나는 순간까지의 반복 횟수를 순환마디길이로 판단한다.
2. 10의 거듭제곱 방법
수론에서 널리 알려진 방법이다.
10, 100, 1000, 10000…을 차례대로 분모로 나누어 처음으로 나머지가 1이 되는 최소의 자릿수를 찾는다.
이 방법 역시 소인수가 2와 5만으로 이루어진 수에는 적용되지 않는다.
3. 강동진 나머지 연접법
강동진 나머지 연접법은 이전 계산에서 얻은 나머지 뒤에 숫자 1을 이어 붙여 다음 계산을 계속하는 방법이다.
즉 이전 나머지를 (r)이라 하면 다음 계산은
10r + 1
을 분모로 나누는 것과 같다.
예를 들어 분모가 7인 경우는 다음과 같다.
단계계산나머지
11 ÷ 71
211 ÷ 74
341 ÷ 76
461 ÷ 75
551 ÷ 72
621 ÷ 70
따라서 모두 6회의 계산 끝에 나누어떨어지므로 순환마디길이는 6이다.
이 방법은 매번 111111…과 같은 큰 수를 새로 만들지 않고, 이전 단계의 나머지를 그대로 다음 계산에 이용한다는 점이 특징이다.
4. 기존 방법과의 비교
구분나눗셈 방법10의 거듭제곱 방법강동진 나머지 연접법
계산 원리나머지 반복 확인10ᵏ의 나머지 확인이전 나머지 뒤에 1을 연접
계산 대상나눗셈10, 100, 1000…1 → 11 → 41 → 61…
특징가장 기본적인 방법수론에서 널리 사용이전 나머지를 그대로 이용
5. 적용 사례
분모종류연접 과정순환마디길이
7소수1 → 11 → 41 → 61 → 51 → 216
11소수1 → 112
13소수1 → 11 → …6
35합성수같은 계산 절차 적용6
※ 현재 제안에서는 3, 9, 27 등 소인수가 3만으로 이루어진 수는 적용 대상에서 제외한다.
맺음말
강동진 나머지 연접법은 순환마디길이를 구하는 새로운 계산 절차를 제안하는 방법이다.
이 방법은 이전 계산의 나머지를 다음 계산에 직접 활용함으로써 계산 과정을 단순하게 표현할 수 있으며, 나눗셈 방법과 10의 거듭제곱 방법을 보완하는 또 하나의 설명 방식이 될 수 있다.
현재까지의 계산 결과에서는 소인수가 2와 5만으로 이루어진 수와 소인수가 3만으로 이루어진 수를 적용 대상에서 제외하고 있으며, 그 밖의 수에 대해서는 동일한 계산 절차를 적용할 수 있음을 확인하였다.
향후 더 많은 소수와 합성수에 대해 계산 사례를 축적하고, 이 방법이 성립하는 정확한 적용 조건과 수학적 근거를 증명한다면 교육적·수론적 가치가 더욱 높아질 것으로 기대된다.
;)
