지독한 가난과 외로움은 결국 파산위기 앞에 이생망을 한탄한다. 아무리 글을 써대도 투명인간 취급받는 것은 3류대학을 나오고 영세 언론사에서 일한 3류인생이기 때문인가. 과학을 육성해야 한다는 조중동과 한경오도 서민들의 이야기보다 진영을 공고히하는 정치판 기사만 열심히 써댄다. 헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 메르센 소수를 능가하는 소수생성식을 제안하고 이를 강동진 소수(수열)라고 이름붙여서 소개하기로 했다. 물론 낯간지런 일이다. 천하에 메르센 같은 이들과 어떻게 같은 급의 대우를 바랄 것이겠냐만은 정치인들은 자신의 이름을 공항이나 공원, 박물관, 도서관에 붙여달라고 하거나 붙여지는데, 서민들은 이름 석자 기억해주는 곳이 없으니 이렇게라도 하는 것이다.
어쩄든 메르센수는 2의 거듭제곱-1이 지수가 소수이면 소수가 될 수 있으며 이때 소수를 메르센 소수라고 불리운다. 이에 반해 강동진 수(수열)는 1+2의 홀수제곱을 누적으로 더해갈때 지수 곱하기 2에 더하기 1을 한 수가 소수이면 소수일 수 있다고 말한다. 물론 메르센 수도 지수가 소수라해도 소수가 아닌 수가 등장한다. 가령 2의 11제곱-1은 지수가 11로 소수지만 소수가 아니다.
역시 강동진 수도 지수에 2곱하기 1을 한 수가 소수여도 소수가 아닐 수가 있다.
그런데 왜 강동진 소수를 메르센 수와 매칭하거나 대칭하는 소수라고 부르려고 하는가.
강동진수는 1+2+8--식으로 홀수제곱을 누적적으로 더해가며 그때 그때 나오는 수를 말하지만, 이를 식으로 다시 쓰면, 마지막으로 더한 지수보다 2를 더한 지수제곱+1인 수를 3으로 나눈 수와 같기 떄문이다.
그래서 식으로 표현하자면 2의 홀수제곱+1을 3으로 나눈 수가 되는 것이다.
즉 메르센수는 지수가 짝수인 수는 모두 처음부터 제거하고 2의 홀수제곱-1인 수에서만 소수를 찾을 수 있는 것으로 강동진수는 +1의 구조라면 메르센수는 -1의 구조라고 할 수 있는 것이다.
가만히 보면 대칭적으로 보이지 않는가.
한번 보자 2의 3제곱까지 더한 수는 지수 3에 2를 더한 2의 5제곱+1을 3으로 나눈 11로 일치한다.
그리고 메르센 소수는 완전수와 매칭되어서 나오는데, 강동진 수도 이 완전수와 어느정 도 매칭이 되어 있다.
한번 보자, 완전수는 메르센 소수와 메르센 수의 지수보다 1작은 지수의 2의 거듭제곱을 곱한 수이다. 가령 메르센 소수 3과 2를 곱하면 완전수 6이 나온다.
그런데 이때, 메르센 소수와 2의 거듭제곱을 곱할게 아니라 더해보라. 즉 6은 2와 3을 곱하지 않고 더해서 5가 되고, 28은 7과 4를 더해서 11이 된다.
이를 강동진 수와 비교하면, 강동진 수는 2의 3제곱까지 더한 수는 11인데, 완전수 28일때, 메르센 소수 7일때 11과 같은 수가 된다. 그리고 그이상에는 완전수가 47이 되는네, 강동진 수는 43으로 31보다는 12가 크고, 완저수 더한 수 47보다는 4가 작다. 그 이상에서는 127과 64를 더한 수가 191이고, 강동진 수는 171이 된다. 차는 20이다. 그래서 죽 이상태로 계산하면 4부터 20 하는 식으로 차가 커져가는데, 그 차가 4곱하기 4의 거듭제곱의 누적합이 되는 것이다. 그래서 강동진 수는 오나전수 메르센 수와 상관성을 가지고 있다.
그럼 어떤 수가 소수를 잘 만들어낼까.
앞에서 썼지만 다시 써본다.
그런데 이 수열이 얼마나 많은 소수를 생성하느냐, 메르센 소수생성율과 비교해봤다. 메르센 수는 지수가 짝수인 것은 당연히 뺴고 홀수인 것 중에서 소수 생성율을 비교해본 것이다.
13개까지는 메르센 소수생성율과 매칭 수열의 소수생성율이 7개로 동일했다. 챗 GPT는 우연치고는 매우 신비롭다고 했다.
그런데 50개까지 늘려서 검토했더니 메르센 소수 생성율보다 강동진 기자가 발견한 수열의 소수생성율이 더 높았다.
메르센 소수는 50개중 9개의 소수를 생성해 18%였는데, 메칭 수열 소수는 50개중 13개로 26%를 소수를 생성했다. O쳐진것이 소수인 것이다.
다음은 50개까지의 소수 생성 표이다.
No | Mersenne(2^n-1) | P | S수열(1+2^1+2^3+...) | P
------------------------------------------------------
1 | 1 | X | 3 | O
2 | 7 | O | 11 | O
3 | 31 | O | 43 | O
4 | 127 | O | 171 | X
5 | 511 | X | 683 | O
6 | 2047 | X | 2731 | O
7 | 8191 | O | 10923 | X
8 | 32767 | X | 43691 | O
9 | 131071 | O | 174763 | O
10 | 524287 | O | 699051 | X
11 | 2097151 | X | 2796203 | O
12 | 8388607 | O | 11184811 | X
13 | 33554431 | X | 44739243 | X
14 | 134217727 | X | 178956971 | X
15 | 536870911 | X | 715827883 | O
16 | 2147483647 | O | 2863311531 | X
17 | 8589934591 | X | 11453246123 | X
18 | 34359738367 | X | 45812984491 | X
19 | 137438953471 | X | 183251937963 | X
20 | 549755813887 | X | 733007751851 | X
21 | 2199023255551 | X | 2932031007403 | O
22 | 8796093022207 | X | 11728124029611 | X
23 | 35184372088831 | X | 46912496118443 | X
24 | 140737488355327 | X | 187649984473771 | X
25 | 562949953421311 | X | 750599937895083 | X
26 | 2251799813685247| X | 3002399751580331 | X
27 | 9007199254740991| X | 12009599006321323 | X
28 | 36028797018963967|X | 48038396025285291 | X
29 | 144115188075855871|X| 192153584101141163 | X
30 | 576460752303423487|X| 768614336404564651 | O
31 | 2305843009213693951|X|3074457345618258603 | X
32 | 9223372036854775807|X|12297829382473034411 | X
33 | 36893488147419103231|X|49191317529892137643 | X
34 | 147573952589676412927|X|196765270119568550571|X
35 | 590295810358705651711|X|787061080478274202283|X
36 | 2361183241434822606847|X|3148244321913096809131|X
37 | 9444732965739290427391|X|12592977287652387236523|X
38 | 37778931862957161709567|X|50371909150609548946091|X
39 | 151115727451828646838271|X|201487636602438195784363|O
40 | 604462909807314587353087|X|805950546409752783137451|X
41 | 2417851639229258349412351|X|3223802185639011132549803|X
42 | 9671406556917033397649407|X|12895208742556044530199211|X
43 | 38685626227668133590597631|X|51580834970224178120796843|X
44 | 154742504910672534362390527|X|206323339880896712483187371|X
45 | 618970019642690137449562111|X|825293359523586849932749483|X
46 | 2475880078570760549798248447|X|3301173438094347399730997931|X
47 | 9903520314283042199192993791|X|13204693752377389598923991723|X
48 | 39614081257132168796771975167|X|52818775009509558395695966891|X
49 | 158456325028528675187087900671|X|211275100038038233582783867563|X
50 | 633825300114114700748351602687|X|845100400152152934331135470251|O
단 메르센 소수가 최대소수로 여전히 인기가 있는건, 소수판별의 기법이 이미 상당히 연구되어 있다는 것이다. 그에 반해 강동진 수는 소수 판별 기법이 앞으로 연구되어야 할 것이다. 일단은 지수에 2를 곱해 1을 더한 수가 소수라는 조건 그리고, 순환마디길이 조건을 가미하면 상당히 소수 판별이 도움이 될 수 있을 것이다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
메르센 소수를 닮은 또 하나의 소수 생성 수열
헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 기존의 메르센 수에 대응하는 새로운 소수 생성 수열을 제안하며 이를 ‘강동진 소수(수열)’라고 이름 붙였다. 스스로의 이름을 붙이는 것이 다소 낯간지러운 일일 수도 있다. 천재 수학자들의 이름이 붙은 정리나 수열과 같은 반열에 서겠다는 뜻은 아니다. 다만 정치인들이 자신의 이름을 공항이나 공원, 박물관에 남기듯, 평범한 사람에게는 이름 석자를 남길 방법이 많지 않다는 점에서 작은 시도일 뿐이다.
잘 알려진 메르센 수는
2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수이다.
즉
2^n − 1
형태의 수를 말하며, 이때 지수 n이 소수일 경우 그 값이 소수가 되기도 한다. 이렇게 생성된 소수를 메르센 소수라고 부른다. 그러나 지수가 소수라고 해서 항상 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어
2¹¹ − 1 = 2047
은 합성수이다.
강동진 수열은 이와 다른 방식에서 출발한다.
이 수열은 1에 2의 홀수제곱을 순서대로 더해가는 방식으로 정의된다.
예를 들어
1 + 2¹
1 + 2¹ + 2³
1 + 2¹ + 2³ + 2⁵ …
이와 같이 홀수 지수의 거듭제곱을 누적해 나가며 만들어지는 수열이다.
흥미로운 점은 이 누적합이 다음과 같은 식으로 정리된다는 것이다.
(2의 홀수제곱 + 1) ÷ 3
즉 어떤 단계의 누적합은 결국
2의 특정 홀수 거듭제곱에 1을 더한 뒤 3으로 나눈 값과 동일하다.
이 구조를 보면 메르센 수와 묘한 대칭성이 드러난다.
메르센 수
2^n − 1
강동진 수
(2^n + 1) / 3
즉 하나는 −1 구조, 다른 하나는 +1 구조를 가진다. 메르센 수가 사실상 2의 거듭제곱에서 짝수 지수를 제거한 뒤 소수를 찾는 방식이라면, 강동진 수열은 2의 홀수 거듭제곱에 1을 더한 구조에서 파생되는 수열이라고 볼 수 있다.
실제로 간단한 예를 보면 다음과 같다.
2³까지 더한 값
1 + 2 + 8 = 11
이 값은
(2⁵ + 1) ÷ 3 = 11
과 정확히 일치한다.
이러한 구조 때문에 강동진 수열은 메르센 수와 대칭적 관계를 가진 수열로 볼 수 있다는 것이 필자의 주장이다.
또 하나 흥미로운 점은 완전수와의 관계다. 메르센 소수는 오래전부터 완전수와 깊은 관계가 있는 것으로 알려져 있다. 예를 들어 메르센 소수 3에 2를 곱하면 완전수 6이 되고, 메르센 소수 7에 4를 곱하면 완전수 28이 된다.
그런데 여기서 다른 방식으로 접근해 보자.
곱하는 대신 더해보면
3 + 2 = 5
7 + 4 = 11
이때 등장하는 11은 바로 강동진 수열에서 등장하는 값과 일치한다.
이러한 관계는 이후 단계에서도 일정한 패턴을 보이며 완전수, 메르센 수, 강동진 수 사이에 일정한 상관성이 존재하는 것으로 보인다.
그렇다면 실제로 어느 수열이 소수를 더 많이 만들어낼까.
필자는 메르센 수와 강동진 수열을 각각 50개까지 계산하여 소수 생성률을 비교해 보았다. 메르센 수의 경우 짝수 지수는 처음부터 제외하고 홀수 지수만을 대상으로 비교했다.
그 결과는 다음과 같았다.
메르센 수 : 50개 중 9개 소수 (약 18%)
강동진 수열 : 50개 중 13개 소수 (약 26%)
초기 13개까지는 두 수열이 각각 7개의 소수를 만들어 완전히 동일한 결과를 보였다. 그러나 범위를 50개까지 확장하자 강동진 수열이 오히려 더 높은 소수 생성률을 나타냈다.
물론 이것이 곧바로 메르센 수보다 더 뛰어난 소수 생성 방식이라는 의미는 아니다. 메르센 소수가 현재까지도 가장 유명한 이유는 단순히 수열 때문이 아니라, 이미 오래전부터 전용 소수 판별 알고리즘이 연구되어 왔기 때문이다.
반면 강동진 수열은 이제 막 제안된 단계이므로 앞으로 다음과 같은 연구가 필요하다.
지수 조건 (2n+1이 소수인지 여부)
순환마디 길이와의 관계
전용 소수 판별 기법
이러한 연구가 이어진다면 메르센 수와 대응되는 또 하나의 흥미로운 소수 탐색 수열로 자리 잡을 가능성도 있을 것이다.
그리고 챗GPT는 이 글에 대해, 칼럼이나 제안문으로서는 충분히 흥미로운 글입니다고 말했다.
