인정받지 못해, 지독한 가난과 외로움속에서 지쳐쓰러져간 이가 내가 될 줄 몰랐다. 최근에 책을 내자 가까운 친지는 대뜸 노동을 해서 돈을 벌 생각하라고 한다. 책을 쓰는게 노동이 아니라고 생각하는 것일까. 난 도무지 이해할 수가 없다. 님에 대한 분리불안증은 더 심해지고, 코앞에 닥친 파산의 두려움은 나를 미치게 하지만 그래도 이건 아니다. 육체노동보다 지식노동의 가치가 대폭 증가해야 미래가 있다는 것인데, 이땅의 학부모들이여 자식들의 미래를 생각하면 가격혁명을 이루자. 자기자식이 무엇을 해서 돈을 벌건지 생각한다면 말이다. 그래도 마지막 남은 진실이라고 또 쓰련다. 쌍둥이 소수 추측은 간단히 증명됐다면 이미 됐다고 할 수 있다. 소수의 무한성을 증명했다고 하는 유클리드법을 수정하면 그렇다.
2, 3부터 앞선 소수를 차례대로 곱해서 +1한 수와 -1한 수는 쌍둥이 소수라고 정의하면 된다. 물론 두 수 모두 소수가 아닌 경우가 나온다. 그것은 앞에서 곱해준 소인수보다는 크고, 곱해서 만든 수보다 작은 소수간의 곱으로 합성수가 되는 경우이다.
그러나 이또한 새롭게 발견되 소인수는 2의 차를 두고 쌍둥이 소수쌍을 가질 수 있다. 그리고 또 합성수가 되더라도 계속해서 작은 소수를 곱해나가고 +1하고 -1한 수는 쌍둥이 소수쌍이라고 정의하면 된다.
이 법이 소수의 무한성으로 증명하는 것이라고 하면서 왜 쌍둥이 소수의 무한성을 증명하는 법으로 이용되지 않을까. 그건 무언가 커다란 오해가 아닌지 나는 의심한다.
쌍둥이 소수는 직관적으로도 증명된다. 먼저 쌍둥이 소수는 삼각수의 2배한 수가 출현하는 것과 거의 마찬가지로, 아니면 조금 더 많게 쌍이 존재한다.
가령 삼각수 3의 배수는 6인데, 6이란 수 근처에 쌍둥이 소수는 한쌍이 5와 7로 존재한다.
삼각수 6은 2배하는 구간 12에 쌍둥이 소수 쌍 11과 13이 두번쨰로 출현한다는 것이다.
또 소수정리를 응용해 어떤 수 이내의 쌍둥이 소수쌍의 갯수가 어떤수를 2배한 사이에 처음에는 적지만 점정 수가 커지면 거의 같은 갯수로 쌍둥이 소수쌍이 존재한다고 챗GPT의 검토결과 확인됐다.
난 지금 떨고 있다. 더이상 더 자세히 써내려갈 수 없다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
쌍둥이 소수는 왜 여전히 ‘미증명’으로 남아 있는가
소수의 무한성을 설명할 때 자주 등장하는 고전적 발상은 간단하다.
2와 3부터 시작해 앞선 소수들을 차례대로 모두 곱한 뒤, 거기에 1을 더하거나 1을 빼는 것이다.
이렇게 만들어진 두 수는, 기존에 사용한 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다.
이 발상은 “적어도 새로운 소수가 하나는 반드시 등장한다”는 점에서 소수의 무한성을 설명하는 데 성공한다.
그런데 여기서 한 걸음만 더 나아가면 자연스러운 질문이 생긴다.
곱한 수에서 1을 더한 것과 뺀 것은 항상 2의 차이를 가지는데,
이 둘을 쌍둥이 소수라고 정의하면 안 되는가?
물론 반례는 곧바로 등장한다.
두 수 모두 소수가 아닌 경우가 나타난다.
그 이유는 분명하다.
앞에서 곱해준 소인수들보다 더 큰, 아직 고려되지 않은 소수들끼리 곱해져 합성수가 되는 경우가 있기 때문이다.
하지만 이 지점에서 논의가 끝나야 할 이유는 없다.
왜냐하면 그 과정에서 새로운 소인수들이 드러나고,
그 소인수들 역시 다시 2의 차이를 두고 등장할 가능성을 갖기 때문이다.
합성수가 나오더라도 절차는 멈추지 않는다.
더 작은 소수들을 계속 곱해 나가고, 다시 1을 더하고 1을 빼는 과정을 반복하면 된다.
이 일련의 구조 전체를 하나의 흐름으로 보면,
“쌍둥이 소수쌍을 생성하는 방식”이라고 정의하지 못할 이유는 없어 보인다.
그렇다면 의문은 더욱 선명해진다.
이 방법이 소수의 무한성을 증명하는 논리로는 받아들여지면서,
왜 쌍둥이 소수의 무한성을 설명하는 데에는 사용되지 않는가?
혹시 우리는 여기서 커다란 오해를 공유하고 있는 것은 아닐까.
직관으로 보면 쌍둥이 소수는 이미 충분히 많다
쌍둥이 소수는 직관적으로도 드문 예외처럼 보이지 않는다.
오히려 일정한 리듬을 가지고 반복해서 등장한다.
하나의 비유를 들어보자.
삼각수를 두 배로 늘려가는 수열을 떠올리면,
그 주변에는 거의 항상 쌍둥이 소수가 따라붙는다.
삼각수 3의 배수는 6이다.
이 6의 바로 양옆에는 5와 7이라는 쌍둥이 소수가 있다.
다음 삼각수 6을 두 배 하면 12가 된다.
이번에도 11과 13이라는 또 다른 쌍둥이 소수가 등장한다.
이 현상은 우연처럼 보이지만, 반복해서 나타난다.
쌍둥이 소수는 특정한 수를 중심으로 “틈을 메우듯” 나타나는 구조를 갖고 있다.
적어도 관찰 수준에서는, 사라져 가는 대상이라기보다 꾸준히 출현하는 존재에 가깝다.
소수정리가 던지는 또 하나의 힌트
소수정리는 “수가 커질수록 소수는 드물어진다”는 우리의 직관을 교정한다.
밀도는 줄어들지만, 완전히 사라지지는 않는다.
이 관점을 쌍둥이 소수에 적용해 보면 흥미로운 그림이 나타난다.
어떤 수까지의 쌍둥이 소수쌍의 개수와,
그 수를 두 배로 확장한 구간에서 새롭게 등장하는 쌍둥이 소수쌍의 개수를 비교하면,
처음에는 차이가 있지만,
수가 충분히 커질수록 그 개수는 거의 비슷해지는 경향을 보인다.
즉, 쌍둥이 소수쌍은
“초반에는 들쭉날쭉하지만, 전체적으로는 계속 공급되는 구조”를 가진다.
이는 단순한 낙관이 아니라, 소수의 분포에 대한 정성적 이해와도 잘 맞아떨어진다.
그리고 이 글의 가치에 대해 챗GPT는 쌍둥이 소수의 무한성 문제를 증명의 대상이기 이전에
사고의 대상으로 복원시키는 데 의미가 있다고 말했다.
