파산이 다가오자, 난 나라가 망가지기를 바랜다. 소비쿠폰도 안줬으면 하는 마음이 한켠에 생긴건, 더 망가지기를 바랐는지도 모른다. 나는 이렇게 힘든데, 네가 그렇게 즐거워하는 모습을 보는 것 자체가 싫었기 떄문이다. 명문학벌을 획득하는것에 실패하는 사람들이 영재로 소개된 사람들이 망가지기를 간절히 비는 이유도 똑같을 것이다. 정말 미쳐버릴 것 같다. 비문증같이 파산이 눈앞에 어른거리는게 지긋지긋하다. 정부가 추가대출을 해주지 않는 이상은 국가는 잘되기를 바라지 않는 사람은 부지기수일 것이다.
페르마의 마지막 정리 증명과 관련, 모든 홀수에서 성립한다고 인수분해와 짝홀수 구조적 분석에서 설명해보았다. 그런데, 그렇다면, 짝수에서는 어떨까.
사실 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 지수가 소수일때만 증명하면, 모든 지수에서 성립한다고 증명하는 것과 같다.
가령 지수가 3일때 참이라고 증명하면, 이는 지수가 3의 배수일때 모두를 증명하는 것이기 때문이다. 예를 들어 지수가 6이라면, A의 2의 3승이고, 이는 A의 2제곱에 3제곱이이기에, 모든 3제곱에서 성립하는 원리를 적용할 수 있기 떄문이다.
식으로 봐보자 A의 6제곱+B의 6제곱=C의 6제곱은 (A의 2제곱)의 3제곱+(B의 2제곱)의 3제곱=(C의 2제곱)의 3제곱이 되는 것이다.
그래서 앞에서 모든 홀수제곱에서 성립하는 원리는 지수가 짝수인 경우에도, 2의 2의 거듭제곱만 빼고는 모두 적용할 수 있는 것이다.
그러므로 모든 홀수 지수에서 페르마의 마지막 정리가 증명되면, 딱 하나 2의 2의 거듭제곱에서만 증명하는 원리를 찾으면 되는 것이다.
다음은 앞에서 지수가 홀수일때, 페르마의 마지막 정리를 증명한 설명이다.
A의 N제곱+B의 N제곱=C의 N제곱에 N이 홀수이면, 인수분해가 된다. N이 3이라면 A의 N제곱+B의 N제곱은 (A+B)(A^-AB+B^)으로 인수분해가 되고 C가 짝수일수 없다는 것을 먼저 알 수 있다. ABC세수중 가장 큰수가 C인데, 이 가장 큰수는 짝수가 될 수 없다는 것이다. 그건 N이 홀수라면 A와 B가 홀수이어서 좌측괄호안은 홀수이고 우측 괄호안은 홀수인 항이 항상 홀수개여서 홀수이기에, 좌측 괄호의 거듭제곱이 될 수 없다는 것으로 알 수 있는 것이다.
원래 (A+B)(A^-AB+B^)이 C의 홀수제곱이이려면, 우측괄호는 (A+B)의 홀수 마이너스 1의 거듭제곱꼴아 되어야 하지만, (A+B)가 짝수인데, (A^-AB+B^)는 홀수항이 홀수개로 홀수이기 때문이다.
이제 그렇다면, 이제 A와 B중 하나가 짝수여야하고 C는 홀수여여 한다.
그럼 식을 바꾸어서 C의 N제곱-A의 N제곱=B의 N제곱으로 바꾸어보자. 그럼 A와 B중 하나는 반드시 홀수이기 때문에, A를 홀수라고 생각하면 두식 모두에서 같은 조건이 된다는 것을 알 수 있다.
즉 C와 A가 홀수라는 것이다.
그런데 C의 N제곱-A의 N제곱은 인수분해가 된다. 가령 N이 3이라면 (C-A)(C^+CA+A^)로 인수분해가 되는데 좌측괄호는 짝수 우측괄호는 홀수이다. 역시 마찬가지로 좌측괄호안이 짝수인데, 우측괄호안은 N이 홀수이면 홀수인 항이 홀수개여서 홀수라는 것이다.
그러면 의문이 하나 남는다. 만약 좌측괄호 (A+B)와 (C-A)그것 자체로 어떤 짝수의 세제곱수라면 어떤가. 그리고 뒷괄호가 홀수의 홀수제곱수라면 어떤가이다.
즉 (A+B)=어떤 짝수L의 거듭제곱 C-A=어떤 짝수K의 거듭제곱이라면 두식을 더하면
C+B= 짝수L의 홀수제곱+짝수 K의 홀수거듭제곱이다. 가만히 생각해보자. 좌측은 홀수와 짝수의 합으로 홀수인데, 우측은 짝수와 짝수의 합으로 짝수인것 아닌가. 성립될 수 없다.
결국 페르마의 마지막 정리에서 홀수 거듭제곱에서 성립된다는 것을 알 수 있다.
다음은 N의 2의 거듭제곱에서 페르마의 마지막 정리를 증명하는 설명이다.
A의4제곱-B의 4제곱=C의 4제곱을 놓고 보자. 좌변을 인수부해하면 (A의 2제곱-B의 2제곱)(a의2제곱+b의 2제곱)=C의 4제곱이 된다.
이제 양변을 제곱근 한다면, 루트 (A의 2제곱-B의 2제곱)(a의2제곱+b의 2제곱)=C의 2제곱이 된다. 우변은 사각수가 되는 것이다.그럼 좌변, 루트(A의 2제곱-B의 2제곱)(a의2제곱+b의 2제곱)이 사각수가 되려면, 괄호안이 동시에 어떤 사각수가 되어야 한다.
그럼 A의 2제곱-B의 2제곱=사각수X 라 놓고 a의2제곱+b의 2제곱=사각수Y라 하면 두 식을 더하면 2A의 2제곱=X+Y가 된다. 그리고 양변을 2로 나누면 A의 2제곱(사각수)=(X+Y)/2가 된다.
즉 좌변 X+Y의 산술평균이 사각수여야 하는데, 그런 수가 없기에 정수가 되지 못한다.
그렇다면, 한가지 의문이 남는다. 두 괄호안이 차수가 같은 재귀무리수의 곱으로 전체의 곱이 4제곱이 되어, 제곱근하면 사각수가 될 수 있는 것이다.
가령 4곱하기 4은 사각수곱하기 사각수로 제곱근 하면 사각수가, 2곱하기 8은 사각수가 아닌 루트2가 2루트2와 만나 사각수가 되는 것처럼 말이다.
이 겨우도, 2와 8이 등차관계가 아닌 드비 관계라는 점을 이해하면 쉽게 성립할 수 없다고 알 수 있다. A의 2제곱(사각수)=(X+Y)/2 이 식을 찬찬히 바로보면 이해된다.
챗GPT는 이글에 대해 400년전 페르마가 어떤 고찰을 했는지, 엿볼 수 잇는 글이라고 했다.
