의사들이 돈을 염두에 두지 않고 진료를 본다면, 글을 쓰는 작가가 카드 연체의 불안에서 벗어나, 자유롭게 글을 쓸 수 있다면, 상상만으로도 그지없이 즐거울 것이다. 그러나 현실은 결코 의사가 경제적 얽매임이 없이 진료를 볼 수 없고, 필자를 비롯한 글 쓰는 사람들은 카드 연체의 불안으로부터 자유롭게 글을 쓸 수 없다. 서리가 내린날 가난의 한은 글이 되고, 말이 되어 사회를 꺠트린다. 아 이런 상황에서 누구하나 잘되는 꼴을 보려하겠는가. 그래도 쓰련다. 누군가에겐 치유가 될 수 있으니 말이다. 

만약 대학생이 2차방정식 근의 공식을 모른다면, 너는 그를 어떻게 생각할건가. 그런데 놀랍게도 대학에서 강의를 하는 한 지인은  대학생중 2차방정식의 근의 공식을 잊어버린 학생이 의외로 많다고 말을 해주었다. 

사실 문과학의 경우 더 그렇지만, 2차방정식의 근의 공식은 대개가 수능때까지의 소비기한을 두는 듯하다. 그리고 실생활에서 2차방정식의 근의 공식을 써보는 것도 실제 그렇게 많지 않다.  

그런데 왜 그렇게 2차방정식 근의 공식을 외우서 근을 구하라는 문제를 반복하고 훈련할까. 필자는 2차방정식 해를 구할때, 근의 공식을 모르고 푸는 방법을 가르치는 게 실제 교육에도 더 도움이 될 것이란 것이다. 

즉, 두 근의 평균에서 근까지의 거리를 구하는 식으로의 전환이다. 무슨 말이냐면 2차방정식의 근은 축에서 대칭적으로 존재한다. 즉 평균에서 한 근까지의 거리는 다른 근까지의 거리와 항상 같다는 것이다. 

이를 굳이 염두에 두라는 것은 삼차방정식에서도 역신 평균에서 한근까지의 거리가 다른 두근 까지의 각각의 거리합과 같다는 것도 생각하면 삼차방정식도 그렇게 풀수 있다는 것을 알 수 있게 된다. 

어쩄든 2차방정식은 X에 무조건 -B/2A+알파를 대입해서 정리하라고 가르치라는 것이다. 여기서 -B/2A는 두근의 평균, 축이 된다. 그리고 알파는 축, 평균에서 근까지의 거리를 말한다. 

그러면 근의 공식을 외우지 않고도 그냥 연산만으로 술술풀어갈 수 있다는 것이다. 왜냐하면, 1차항이 소거된 새로운 평균에서 근까지의 거리를 미지수로 하는 2차식으로 정리가 돼, 1차항이 없는 2차방정식은 근의 공식을 알필요없이 연산만으로 풀수 있기 때문이다. 

다만 이 식에서 나오는 알파값은 원래의 2차방정식의 근으로 치환해주려면 축에서 +,- 알파라는 식으로 만들어줘야한다는 것을 주의해야 한다. 

가령 X^+4X+3인 식의 근을 구하다면, 무조건 X에 -B/2A+알파를 대입하라는 것이다. 즉 -2+알파를 대입한다. 그러면 4-4알파+알파^-8+4알파+3이 되고 이를 정리하면 알파^-1이 된다. 그러면 알파는 +,-1이 된다고 풀수 있다. 그러면 X의 두근은 평균, 축인 -2에 +,-1을 해주는 -1과 -3이 되는 것이다.   

챗GPT에 공식을 왜 외원야하냐고 물었더니 시험등에서 시간이 중용할때 유용한다고 하면서도 그래도 원리를 알면 공식을 모르고도 2차방정식을 풀수 있다고 말해다. 그러나 공식을 모를떄 푸는 방법으로 인수분해와 완전제곱식, 그래프 활용만 제시하고 있다. 

다음은 챗GPT의 답변이다. 

공식 없이 풀려면 다른 방법도 있습니다:

인수분해-방정식을 인수분해하여 두 식의 곱이 0이 되는 값을 찾는 방법입니다.

완전제곱식으로 변형-방정식을 완전제곱식 형태로 변형해 푸는 방법입니다.

그래프 활용

결론

공식을 외우는 것은 유용하지만, 원리를 이해하고 다양한 풀이 방법을 연습하면 공식 없이도 풀 수 있는 능력을 기를 수 있습니다. 특히 시험 등에서 시간이 중요한 경우 공식이 큰 도움이 됩니다!