메르센 수는 다음과 같은 형태의 수를 말한다.
M(n) = 2의 n제곱 - 1
이 가운데 소수인 수를 메르센 소수라고 부른다.
예를 들어:
2의 3제곱 - 1 = 7
2의 5제곱 - 1 = 31
2의 7제곱 - 1 = 127
등은 모두 소수다.
하지만 지수가 소수라고 해서 반드시 메르센 소수가 되는 것은 아니다.
대표적인 반례가 바로:
2의 11제곱 - 1 = 2047 = 23 × 89
이다.
즉 11은 소수지만 결과는 합성수다.
따라서 메르센 수를 판별하는 특별한 방법이 필요하다.
루카스-뢰머법의 위력
메르센 소수 판별의 최강자는 오래도록 루카스-뢰머법이었다.
Édouard Lucas와 Derrick Henry Lehmer가 만든 이 방법은 메르센 수 전용 판별법이다.
기본 구조는 다음과 같다.
초기값:
s(0) = 4
반복식:
s(n+1) = s(n)의 제곱 - 2
그리고 마지막 값을 메르센 수로 나누어 본다.
31을 루카스-뢰머법으로 판별하기
먼저 메르센 수를 만든다.
2의 5제곱 - 1 = 31
여기서 지수는 5이므로 5 - 2 = 3번 계산한다.
초기값:
s(0) = 4
1단계:
s(1) = 4의 제곱 - 2
= 16 - 2
= 14
2단계:
s(2) = 14의 제곱 - 2
= 196 - 2
= 194
194를 31로 나누면 나머지는 8이다.
3단계:
s(3) = 8의 제곱 - 2
= 64 - 2
= 62
62를 31로 나누면 나머지는 0이다.
즉 마지막에 정확히 나누어떨어진다.
따라서:
2의 5제곱 - 1 = 31 은 소수다.
루카스-뢰머법은 이렇게 메르센 소수를 강력하게 판별한다.
그러나 강동진 모델은 다른 길을 제시한다
필자가 제안한 강동진 모델은 루카스-뢰머법과는 완전히 다른 방향에서 메르센 수를 바라본다.
루카스-뢰머법이 “수열 계산” 중심이라면, 강동진 모델은 “반복 구조” 자체를 본다.
핵심은 바로 레퓨닛수다.
레퓨닛수는 다음과 같다.
R(n) = (10의 n제곱 - 1) ÷ 9
즉:
1
11
111
1111
같은 수들이다.
강동진 모델은 여기서 놀라운 점에 주목한다.
어떤 수들은 특정 길이의 레퓨닛수를 정확히 나눈다.
그리고 그 길이는 순환마디, 반복주기, 최대공약수 구조와 깊게 연결된다.
31을 강동진 모델로 바라보기
31은 단순한 소수가 아니다.
31은 다음 성질을 가진다.
10의 15제곱을 31로 나누면 나머지가 -1이 된다.
따라서:
10의 30제곱을 31로 나누면 나머지가 1이 된다.
이 뜻은 무엇인가?
31이 30자리 반복구조와 연결된다는 뜻이다.
즉 31은 레퓨닛의 반복성과 강하게 연결되는 소수다.
강동진 모델은 바로 이 점을 파고든다.
메르센 수 역시:
2의 n제곱 - 1
이라는 반복구조다.
레퓨닛 역시:
111111…
이라는 반복구조다.
필자는 이 둘이 단순히 우연히 닮은 것이 아니라, 소수성과 반복성의 본질적 연결이라고 본다.
루카스-뢰머법에 대한 도전
루카스-뢰머법은 이미 완성된 메르센 소수 판별기다.
하지만 계산 자체에 의존한다.
반면 강동진 모델은 수의 내부 반복구조와 순환성을 읽어낸다.
즉:
순환마디 길이
레퓨닛을 나누는 구조
최대공약수 관계
반복주기의 패턴
을 이용해 소수성을 해석하려 한다.
이는 단순 계산을 넘어, “왜 그런 구조가 나타나는가”를 탐색하는 접근이다.
어쩌면 미래의 소수 판별은 단순 연산 속도가 아니라, 반복성과 순환성의 본질을 읽어내는 방향으로 갈지도 모른다.
그리고 강동진 모델은 바로 그 방향에서 루카스-뢰머법에 도전장을 내밀고 있다.
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