이제 여기까지인 듯싶다. 더이상 버티기가 힘들다. 지독한 가난과 외로움속에서도 살아온 나날들이라도 파산을 앞두니 그리움으로 남을 듯하다. 전쟁이라도 일어났으면 하는 생각도 가끔은 있었다. 이 칠흙같은 세상에서 변혁이 일어나려면 전쟁밖에 더 없을 것 같아서이다. 전쟁이 일어나면 노비문서같은 채무 계약서를 다 불태우고, 채무로부터 해방이 될 것같으니 말이다. 아니 그런 것이 아니더라도 나만 힘들게 사느니, 모든 사람이 다 힘들어지는 것도 괜찮다는 생각에서 말이다. 그러나 미국과 이스라엘의 이란 공격을 보면 전쟁은 반대해야 한다는 생각도 든다. 지독한 가난과 외룸의 삶이라도 지나고나니 그림움이 인 것처럼, 보잘것없고 초라한 이 일상마저도 사라지면 그건 죽음과 같기 때문이다. 아니 어쨌든 사이비 진보와 사이비 보수가 문제다.
소수 판별법은 보다 작은 소수들로 나누어보는 것 이상 지금까지 없다. 그래서 여러가지 소수 판별법을 강국해보았지만 계속 실패다. 가령 메르센 수의 지수가 소수이면, 메른센수에서 1을 뺀 수를 나누어 떨어뜨린다고 할때, 이것을 바탕으로 소수인지를 가늠해보는 방법은 지수가 소수가 아닌 예컨대 341의 경우 메르센 수를 나누어서 나저머지가 1인 된 수가 있게 된다. 완벽하지 않는 것이다.
그런데 필자가 만든 강동진 수열에서도 이와 유사한 방식이 전개될 수있다. 가령 1부터 2의 홀수제곱을 더해가면, 그때 그때 소수가 나올 수 있는데, 마지막으로 더한 2의 홀수 지수보다 2가 큰 수가 홀수이면 강동진 수에서 1을 뺀 수를 나누어 떨어뜨리는 것이다.
가령 2의 3제곱까지 더한 수는 11인데, 이때 지수 3보다 2가튼 5가 소수이면, 11에서 1을 뺀 10을 나누어 떨어뜨린다. 역시 메르센 수처럼 5가 소수일때 강동진 수도 솟수일 가능성이 매우 높은 구조를 가진 것도 특이하다.
2의 5제곱까지 더한 수도 마찬가지다. 43인데, 지수 5보다 2큰 수 7이 소수이고 이때 43에서 1을 뺀 42를 나누어 떨어뜨린다.
그러나 2의 7제곱까지 더한 수는 171로 소수도 아니고, 7보다 2큰 9도 소수가 아니어서 171에서 1을 뺀 170을 나누어 떨어뜨리지 않는다. 어쨌든 그래서 지수가 소수인지를 가늠할 방법으로 상용될 수 있다는 것이다.
이와 관련해 필자가 아우트라이팅을 해주고 챗 GPT가 정리 및 리라이팅한 글이다.
소수는 왜 늘 1만큼 비켜 서 있을까
— 메르센, 페르마, 그리고 강동진 수열이 던지는 질문
소수 판별법은 사실상 하나뿐이다.
자기보다 작은 소수들로 나누어보는 것.
수학은 수천 년 동안 이 방법을 벗어나지 못했다.
물론 다양한 판별법이 개발되었지만, 본질은 변하지 않는다.
결국은 나눗셈이다.
그래서 수학자들은 다른 길을 찾았다.
“소수를 직접 판별하는 대신, 소수가 잘 나타나는 구조를 만들자.”
그 대표적인 결과가 메르센 수다.
2^p - 1, 단 p는 소수.
이 방식은 인류가 발견한 가장 큰 소수들을 만들어냈다.
그러나 이 구조는 완벽하지 않다.
p가 소수여도
2^p - 1은 대부분 합성수다.
예를 들어,
p = 11이면
2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89
조건은 만족했지만 결과는 실패다.
더 심각한 사례도 있다.
341 = 11 × 31
이 수는 합성수지만,
2¹⁰ ≡ 1 (mod 341)
즉, 소수처럼 행동한다.
이쯤 되면 명확해진다.
“지수 기반 ±1 구조”는 소수의 필요조건일 수는 있어도,
충분조건은 아니다.
■ 그런데 이상한 반복이 나타난다
이제 전혀 다른 방식의 수열을 보자.
1에서 시작해 2의 홀수 제곱을 누적한다.
1 + 2 + 8 + 32 + 128 + …
이렇게 만들어진 수열은
3, 11, 43, 171, 683 …
이 된다.
이 중 일부는 소수다.
그런데 여기서 묘한 현상이 반복된다.
11은 5로 나누면 1이 남고
43은 7로 나누면 1이 남고
683은 11로 나누면 1이 남는다
즉,
S(k) ≡ 1 (mod (k+2))
형태가 나타난다.
그리고 더 중요한 사실은 이것이다.
이때 등장하는 k+2는 대부분 소수다.
■ 메르센과의 정면 비교
이 구조는 메르센 수와 본질적으로 닮아 있다.
메르센 수:
2^p - 1 ≡ -1 (mod 2^p)
강동진 수열:
S(k) ≡ 1 (mod (k+2))
둘 다 “±1 구조”다.
그러나 결정적인 차이가 있다.
메르센은
→ 단 하나의 조건 (p가 소수)
강동진 수열은
→ 지수 k에 대해 파생된 조건 (k+2)
즉,
메르센은 “지수를 넣는다”
강동진은 “지수에서 구조를 뽑아낸다”
이 차이는 작지 않다.
■ 한 단계 더 나간 관찰
더 나아가면 이런 패턴까지 보인다.
소수가 등장하는 경우,
2k+1이 소수
k+2가 소수
이 두 조건이 동시에 맞물린다.
즉,
지수 하나가 아니라
지수를 중심으로 한 소수의 군집 구조가 등장한다.
이것은 메르센에서는 보이지 않는 특징이다.
■ 그러나 이 이론은 틀릴 수도 있다
여기서 멈추지 않으면 위험하다.
이 구조는 완벽하지 않다.
171은 이 패턴에서 벗어나고
이후에도 합성수는 계속 등장한다.
또한,
341 같은 수는
여전히 모든 단순한 규칙을 무너뜨린다.
따라서 이 주장은 명확히 선을 그어야 한다.
이것은
판별법이 아니다.
증명된 이론도 아니다.
■ 그럼에도 불구하고 남는 것
그럼에도 불구하고 이 관찰이 중요한 이유는 단 하나다.
서로 전혀 다른 구조들이
같은 형태를 공유한다는 점이다.
메르센 수: 2^p - 1
페르마 수: 2^(2^n) + 1
강동진 수열: 누적합 구조 → (2^(2n+1)-1)/3
이 세 가지는 모두
“어떤 기준에서 ±1만큼 어긋난 형태”
를 가진다.
그리고 그 기준은 자주 소수와 연결된다.
■ 질문은 이제 바뀐다
우리는 지금까지 이렇게 물어왔다.
“이 수는 소수인가?”
하지만 이제 질문을 바꿔야 한다.
“왜 소수는 항상 ±1 위치에서 등장하는가?”
■ 소수에 대한 새로운 해석
소수는 단순히 나누어지지 않는 수가 아니다.
오히려,
어떤 구조에서
완벽하게 맞아떨어지지 않고
딱 1만큼 어긋난 자리
그 틈에서만 살아남는 숫자일지도 모른다.
■ 결론 대신 경고
이 글은 하나의 위험한 생각을 담고 있다.
소수는 무작위가 아닐 수도 있다.
그러나 동시에,
지금까지의 모든 시도처럼
이 생각 역시 틀릴 가능성이 크다.
하지만 괜찮다.
수학에서 중요한 것은
항상 맞는 이론이 아니라,
끝까지 살아남는 질문이기 때문이다.
그리고 지금 남은 질문은 이것이다.
소수는 왜 늘,
정확히 1만큼 비켜 서 있는가.
그리고 챗GPT는 이글에 대해 소수를 찾지 말고 구조로 보아야한다는 전환적 가치가 있다고 말했다.
수와 강동진 (소)수열, 페르마 소수에서 지수와 연관성으로 소수판별법을 챗GPT, 소수를 구조로 보자는 전환','https://www.h-money.co.kr/news_view.jsp?ncd=56495','https://www.h-money.co.kr/news/upload/1773887611986_c.png','이제 여기까지인 듯싶다. 더이상 버티기가 힘들다. 지독한 가난과 외로움속에서도 살아온 나날들이라도 파산을 앞두니 그리움으로 남을 듯하다. 전쟁이라도 일어났으면 하는 생각도 가끔은 있었다. 이 칠흙같은 세상에서 변혁이 일어나려면 전쟁밖에 더 없을 것 같아서이다. 전쟁이 일어나면 노비문서같은 채무 계약서를 다 불태우고, 채무로부터 해방이 될 것같으니 말이다. 아니 그런 것이 아니더라도 나만 힘들게 사느니, 모든 사람이 다 힘들어지는 것도 괜찮다는 생각에서 말이다.');)
