수학을 왜 배우는가.
많은 사람들은 수학을 계산하는 과목이라고 생각한다. 더하기와 빼기를 하고, 곱셈과 나눗셈을 하며, 방정식을 풀고 복잡한 숫자를 계산하는 것이 수학이라고 생각하기 쉽다.
그러나 수학 교육에서 더욱 중요한 것은 계산능력 자체가 아니라 수리적 사고력을 키우는 데 있다고 본다.
그렇다면 한 가지 질문을 던져볼 필요가 있다.
우리는 제곱근을 배우면서 왜 제곱근을 직접 계산하는 방법은 충분히 배우지 않는 것일까.
루트 2가 얼마인지는 계산기를 누르면 금방 나온다. 그러나 계산기를 누르지 않고 루트 2에 어떻게 접근할 수 있는지를 생각해 보는 것 역시 수학적 사고가 아닐까.
헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 최근 제곱근과 거듭제곱근, 기하평균 등의 계산에 적용할 수 있는 방법으로 이른바 '평균수렴원리'를 제시하고 있다.
물론 새로운 수학적 방법이 제시됐다고 해서 곧바로 기존의 계산법을 대체할 수 있는 것은 아니다. 수학적으로 엄밀한 증명과 다양한 사례에 대한 검증이 필요하다.
하지만 한번 검토해 볼 만한 아이디어라는 점에서는 의미가 있다.
루트 2를 예로 들어보자.
곱해서 2가 되는 두 수를 생각하면 1과 2를 잡을 수 있다.
1 곱하기 2는 2다.
이 두 수의 산술평균을 구하면 1.5가 된다.
그리고 두 수의 조화평균을 구하면 약 1.333333이 된다.
이제 이 두 수를 다시 가지고 산술평균과 조화평균을 구한다.
그러면 약 1.416666과 1.411765가 나온다.
다시 이 두 수의 산술평균과 조화평균을 구하면 두 수는 더욱 가까워진다.
이 과정을 계속 반복하면 결국 약 1.41421356에 가까워진다.
우리가 알고 있는 루트 2의 값이다.
흥미로운 것은 처음에는 1과 2라는 상당히 거친 숫자에서 시작했지만, 산술평균과 조화평균을 반복하는 것만으로 루트 2에 가까워진다는 점이다.
답을 외우는 것이 아니라 답을 찾아가는 계산이다.
더 흥미로운 것은 이와 같은 생각을 세제곱근에도 적용해 볼 수 있다는 점이다.
6의 세제곱근을 구한다고 하자.
먼저 곱해서 6이 되는 세 수를 찾는다.
2 곱하기 2 곱하기 1.5는 6이다.
따라서 2, 2, 1.5를 출발점으로 잡는다.
이 세 수의 산술평균을 구하면
2 더하기 2 더하기 1.5는 5.5이고,
이를 3으로 나누면 약 1.833333이 된다.
조화평균을 구하면 약 1.8이 된다.
이제 1.8을 두 번 놓고, 세 수의 곱이 다시 6이 되도록 세 번째 수를 정한다.
1.8 곱하기 1.8은 3.24다.
6을 3.24로 나누면 약 1.851852가 된다.
그러면 새로운 세 수는
1.8, 1.8, 1.851852
가 된다.
이 세 수의 산술평균을 구하면 약 1.817284가 된다.
다시 이 값을 두 번 놓고 세 수의 곱이 6이 되도록 세 번째 수를 구한다.
1.817284 곱하기 1.817284는 약 3.302525다.
6을 3.302525로 나누면 약 1.816794가 된다.
따라서 새로운 세 수는
1.817284, 1.817284, 1.816794
가 된다.
이 세 수의 산술평균을 다시 구하면 약 1.817121이 된다.
다시 이 값을 이용해 계산하면 세 번째 수도 거의 1.817121에 가까워진다.
결국 세 수가 서로 거의 같아지면서
1.817121, 1.817121, 1.817121
에 접근한다.
실제 6의 세제곱근은 약 1.817120592다.
처음에는 2, 2, 1.5라는 서로 차이가 있는 세 수였지만, 평균을 구하고 다시 곱을 유지하면서 새로운 수를 만들어 가자 세 수가 점점 하나의 값으로 모여든 것이다.
바로 이 지점을 주목할 필요가 있다.
수학에서 중요한 것은 결과만 아는 것이 아니라 결과에 도달하는 과정을 이해하는 것이다.
계산기로 루트 2를 누르면 1.41421356이라는 숫자가 나온다.
그러나 왜 그 숫자가 나오는지를 스스로 찾아가는 과정에서는 평균이라는 개념과 수의 곱이라는 관계, 그리고 수렴이라는 개념을 함께 생각하게 된다.
이것이 수리적 사고력 교육과 연결될 수 있다는 것이 강동진 대표가 이 방법을 제시하는 이유다.
물론 여기서 냉정하게 말할 부분도 있다.
평균을 반복한다고 해서 모든 제곱근과 거듭제곱근에서 반드시 같은 방식으로 수렴한다고 단정해서는 안 된다.
어떤 조건에서 수렴하는지, 수렴 속도는 어떠한지, 처음 선택하는 수에 따라 결과가 달라지는지, 세제곱근뿐 아니라 네제곱근과 그 이상의 거듭제곱근에도 일반적으로 적용할 수 있는지 등에 대한 수학적 검증이 필요하다.
따라서 지금 필요한 것은 무조건적인 찬성도, 근거 없는 부정도 아니다.
직접 계산해 보고, 증명해 보고, 기존의 제곱근 계산법과 비교해 보는 것이다.
헬스앤마켓리포터스는 강동진 대표가 제시한 '평균수렴원리'가 완성된 새로운 수학 정리라고 주장하기보다, 수학자와 교사, 그리고 수학에 관심 있는 사람들이 함께 검토해 볼 만한 하나의 계산 아이디어로 제시하고자 한다.
특히 수학 교육에서 의미가 있는 것은 이런 질문을 던지는 것이다.
"루트 2를 계산기로 찾지 않고 스스로 찾아갈 수 있을까?"
"세제곱근도 평균을 이용해 찾아갈 수 있을까?"
"평균을 반복하면 왜 하나의 값으로 모여드는 것일까?"
이런 질문에 답을 찾아가는 과정 자체가 수학 공부가 아닐까.
계산기를 없애자는 이야기가 아니다.
계산기만 누르는 수학에서 벗어나 계산기의 답이 만들어지는 원리를 생각해 보자는 것이다.
헬스앤마켓리포터스는 강동진 대표가 제안한 루트와 세제곱근의 평균수렴 계산법에 대해 관련 전문가와 교육계가 관심을 갖고 직접 검토해 줄 것을 제안한다.
새로운 수학은 누군가의 주장만으로 완성되는 것이 아니다.
누군가 새로운 방법을 제시하고, 다른 사람들이 계산하고, 반례를 찾고, 증명하고, 다시 발전시키는 과정에서 비로소 수학이 된다.
그렇다면 이 계산법도 한번 계산해 보자.
루트 2에서 시작해 세제곱근으로 확장하고, 더 높은 거듭제곱근에서도 같은 현상이 나타나는지 확인해 보자.
어쩌면 그 과정에서 우리가 놓치고 있던 또 하나의 수학적 사고법을 발견할지도 모른다.
;)
