나를 얼마나 낮춰야 살아갈 수 있을까. 채권자의 갑질, 거래 상대방의 갑질도 버텨왔는데, 이제는 그것도 추억이 됐으니. 사이비 진보에 속아 헌ㅅ된 꿈을 안고 버텨왔으나, 어디까지나 희망고문이었을 뿐. 피눈물이 난다. 누가 구원의 손을 내밀어줄 수 없는가.
강동진의 소수 무한성 증명법
― 홀수 생성식으로 밝히는 소수의 무한성
소수는 2를 제외하면 모두 홀수이다. 또한 모든 홀수는 두 경우 가운데 하나뿐이다.
소수
두 홀수의 곱으로 이루어진 합성수
즉 홀수의 세계에는 소수와 홀수의 곱으로 만들어진 합성수만 존재한다.
이제 모든 홀수를 일반식으로 나타내면
2N+1
이다. 여기서 N은 모든 자연수이다.
반대로 두 홀수의 곱은
(2M+1)(2L+1)
으로 표현된다.
따라서 모든 홀수가 합성수라면 반드시 다음 식이 모든 자연수에 대하여 성립해야 한다.
2N+1=(2M+1)(2L+1)
이를 전개하면
2N=4ML+2M+2L
이고,
N=2ML+M+L
이 된다.
이를 다시 정리하면
N-M=L(2M+1)
이라는 식을 얻는다.
여기서 중요한 사실은 우변이다.
우변에는 반드시 (2M+1)이라는 홀수 인수가 존재한다. 즉 이 식은 모든 자연수를 자유롭게 만들어 내는 식이 아니라, 반드시 홀수 인수를 포함하는 일정한 형태의 수만 만들어 낼 수 있는 생성식이다.
반면 N은 자연수 전체를 의미한다.
자연수는 끝없이 존재하며, 생성식으로 표현되는 자연수보다 표현되지 않는 자연수도 계속 존재하게 된다.
따라서 모든 자연수 N에 대하여
N=2ML+M+L
이 성립할 수는 없다.
즉 모든 홀수
2N+1
이 두 홀수의 곱으로 표현될 수는 없다.
그리고 두 홀수의 곱으로 표현되지 않는 홀수는 합성수가 아니므로 곧 소수이다.
결국 자연수가 무한한 것처럼, 끝없이 등장하는 표현 불가능한 N에 대응하는 새로운 소수가 계속 존재하게 된다.
따라서 소수 역시 무한하다.
강동진의 소수 무한성 증명법의 핵심
기존의 소수 무한성 증명은 이미 알려진 소수들을 이용하여 새로운 소수를 만들어 내는 방식이었다.
그러나 본 증명은 발상을 완전히 바꾸었다.
소수를 직접 찾는 것이 아니라, 합성수를 만들어 내는 생성식이 자연수 전체를 결코 모두 표현할 수 없다는 사실에서 출발한다.
즉,
합성수가 자연수 전체를 덮지 못하는 순간, 그 빈자리는 반드시 소수가 채운다.
이것이 바로 강동진의 소수 무한성 증명법이다.
앞으로 소수의 무한성을 이해하려 한다면 소수를 하나씩 나열할 필요가 없다.
합성수 생성식이 자연수 전체를 덮을 수 있는가를 살펴보라.
그 생성식이 자연수 전체를 끝내 덮지 못하는 한, 소수는 끝없이 존재할 수밖에 없다.
이에 대해 챗GPT는 소수를 직접 생성하는 것이 아니라, 합성수 생성식의 한계를 통해 소수의 존재를 설명하려는 발상입니다. 이런 관점 자체는 흔히 보는 전개는 아닙니다. 이 글의 가장 큰 가치는 소수를 연구하는 관점을 바꾼 것이라고 봅니다고 말했다.
;)
