왜 나만 이러는가. 더이상 버틸 수가 없다. 지독한 가난과 외로움속에서도 버텨오고 버텨왔지만, 고리대금업자의 회수 통보에 파산이 어른거린다. 그래도 마지막 남은 진실이라고 여겨 글을 쓴다. 앞에서 콜라츠 추측 증명을 썼지만, 이전의 글들이 나오지 않아 추가적으로 더 보충해서 쓰려고 한다.
필자가 콜라츠 추측이 참이라는 주장을 한 근거는 간략하게 3가지다. 먼저 홀수에 콜라츠 조작을 하면, 2의 짝수 제곱 -1이 홀수와 3을 곱한 수이므로, 이에 걸려들어, 결국 1로 수렴한다는 것이다.
다음으로 조작은 무한히 수가 증가되지 않는다는 것이다. 조작의 두가지 경로는 홀수일때 3을 곱해준다것, 짝수일때는 2로 나눈다는 것이다. 그런데, 3을 곱해주니, 2로나눠준 수보다 수의 그기가 더 커져갈 것이라는 것으로 착각하면 안된다.
짝수는 절맙이 4이상의 배수이다. 즉 짝수일때는 절반 이상이 4이상으로 나누어주는 것이 되기에 조작은 수를 무한히 키워나가지 못한다는게 확률적으로 인정될 수 있는 것이다.
세번째는 수가 무한히 반복되지 않는다는 것이다. 3을 곱해주고 2의 제곱을 나누어주는 수는 등비의 곱과 나눗셈이 아니어서 항상 다른 수가 등장한다는 것이다.
이번에 쓰고자하는 것이 이 세번째 근거를 좀더 명확히 하는데 있다.
즉 어떤수에서든지 조작을 시작해서 계속 조작을 한다해도, 2의 거듭제곱에 만나기 전까지는 같은 수가 반복해서 나오지 않는다는 것을 말하고자 헀던 것이다.
7을 한번 보자 3을 곱하면 21. 1을 더하면 22고 2로 나누면 11 다시 3을 곱하면 33. 1을 더하면 34고 2로 나누면 17, 3을 곱하면 51이고 1을 더하면 52에 2로 두번 연속 나누면 13이고 다시 3을 곱하면 39이고 1을 더하면 40이고 2로 세번 나누면 5이고 3을 곱하면 15이고 1을 더하면 16으로 2로 계속 나누면 1로 수렴한다.
이과정에서 7부터 16까지 조작과정에 반복되는 수가 있는가? 없다는 것이다. 결론적으로 “콜라츠 변환은 곱셈과 나눗셈의 비대칭적 구조로 인해 동일 값의 재등장을 허용하지 않으며, 모든 자연수는 필연적으로 2의 거듭제곱 경로를 거쳐 1로 수렴한다.”
다음은 챗GPT의 리라이팅한 글이다.
■ 콜라츠는 왜 끝내 1로 향하는가
콜라츠 추측은 단순하다.
어떤 자연수든, 홀수면 3을 곱하고 1을 더하고, 짝수면 2로 나눈다.
이 과정을 반복하면 결국 1에 도달한다는 주장이다.
수학사에서 이보다 더 단순한 문제도 드물고, 이보다 더 풀리지 않는 문제도 드물다.
그러나 단순함 속에는 이미 답을 암시하는 구조가 숨어 있다.
필자가 이 추측이 참이라고 보는 이유는 세 가지다.
그 중에서도 핵심은 “반복의 불가능성”이다.
■ 같은 수는 왜 다시 나오지 않는가
콜라츠 조작은 본질적으로 두 가지 연산으로 이루어진다.
홀수 → 3n + 1
짝수 → n / 2
이때 중요한 것은, 이 조작이 단순한 등비적 반복이 아니라는 점이다.
예를 들어 어떤 수에 계속 2를 곱하거나 나누는 과정이라면,
같은 수로 되돌아오는 순환이 쉽게 발생한다.
그러나 콜라츠는 다르다.
여기에는 항상
“3을 곱하는 비선형 증가”와
“2의 거듭제곱으로 나누는 급격한 감소”
가 교차한다.
이 구조에서는 이전 상태를 정확히 재현하는 것이 극도로 어렵다.
왜냐하면 어떤 수 k가 다시 등장하려면,
그 이전 단계에서는 반드시 다음과 같은 형태를 가져야 한다.
k = (3m + 1) / 2^a
즉,
정한 m과 a가 정확히 맞아떨어져야 한다.
하지만 이 조건은 단순한 반복과 달리
정수 조건과 나눗셈 조건을 동시에 만족해야 하는 매우 제한적인 경우다.
■ 사례: 7은 왜 한 번도 되돌아오지 않는가
7에서 시작해보자.
7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 13 → 40 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
이 과정에서 등장하는 수들은 단 한 번도 반복되지 않는다.
이것은 우연이 아니다.
각 단계는 다음과 같은 특징을 가진다:
3을 곱하면 구조가 완전히 바뀌고
2로 나누면 정보가 압축된다
즉, 이전 상태로 “정확히 되돌아가기 위한 정보”가
계속해서 파괴된다.
■ 더 큰 수에서도 같은 현상은 반복된다
27을 보자.
콜라츠 추측에서 유명한 수다.
27은 무려 100번이 넘는 과정을 거친 뒤에야 1로 도달한다.
그러나 그 긴 여정 속에서도 나타나는 특징은 동일하다.
값은 크게 요동치지만
같은 수로 돌아오는 구간은 나타나지 않는다
이것은 단순한 계산 결과가 아니라
구조적인 특성이다.
■ 반복이 없다면 남는 것은 하나뿐이다
콜라츠 과정에서 가능한 경우는 두 가지다.
수가 무한히 증가한다
어떤 값으로 되돌아와 순환한다
그런데 이미 두 번째 가능성은 극도로 제한된다.
앞서 보았듯이, 동일한 수로 돌아오기 위해서는
정수 조건과 나눗셈 조건이 동시에 맞아떨어져야 한다.
또한 첫 번째 가능성 역시 약하다.
왜냐하면:
3을 곱하는 단계는 드물고
대부분의 단계는 2로 나누는 과정이기 때문이다
즉 전체적으로 보면
감소 압력이 증가 압력보다 크다
■ 결국 남는 결론
반복은 어렵고,
무한 증가는 억제된다.
그렇다면 남는 것은 하나다.
수열은 결국 2의 거듭제곱 구간으로 진입하고,
그 이후는 1로 수렴한다.
■ 결론
콜라츠 추측은 아직 증명되지 않았다.
그러나 그 구조를 들여다보면, 이미 방향은 정해져 있다.
되돌아갈 수 없고
끝없이 커질 수도 없다면
남는 길은 단 하나다.
모든 수는 결국 1로 간다.
그리고 챗GPT는 이에 대해 구조적 직관의 선언이라고 평했다.
;)
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