지독한 가난과 외로움에서 한방에 나를 구제할 글을 찾아보지만 그런게 없다. 앞서간 천재들이 다 채굴을 해버렸으니, 거의 폐광 상태에 이르지 않았나 하는 생각도 든다. 최대한 간다해서 누구나 알기 쉽고, 하지만 신비로운 규칙과 패턴 상호연과성을 보이는 글을 계속 찾아본다. 어려운 논문의 글이 아니라, 놀이 같이 생각할 주제말이다. 그러다가 문든 생각났는데, 별로일 것 같은 생각이 들지만, 혹시나 써본다. 어떻게든 살아보려는 발버둥이 느껴질 수도 있어서, 누군가는 가치를 높게 평가해줄지 모르니.
필자가 소개할 것은 간단하다. 홀수에서 2를 더한 수가 소수라면 2배하고 1을 더한 수도 소수가 될 가능성이 매우 높다는 것이다.
3부터 보자 3에 2를 더한 수는 5로 소수다. 그럼 3에 2배하고 1을 더한 수도 7로 소수가 된다.
7은 2를 더하면 9로 소수가 아니다. 2배하고 1을 더하면 15로 역시 소수가 아니다.
9는 2를 더한 수는 11로 소수다. 그리고 2배하고 1을 더한 수는 23으로 소수가 나온 것이다.
이를 역으로 환산하면 소수 판단의 힌트가 된다. 11이 소수인 것은 1을 빼고 2로 나눈수는 5로 홀수가 나온다(여기서 현재까진 홀수란게 중요하다. 짝수가 나온 경우는 연관성을 아직 찾지 못했다)그럼 5에 2를 더한 수는 7로 소수니 11도 소수일 가능성이 높고, 소수다.
이는 가장 기본적으로 홀수에 2를 더한 수가 3의 배수이면 2배하고 1을 더한 수가 3의 배수란 것인 사실에 기인해서 기초적인 확이이 가능하다.
그리고 소수는 대칭적으로 존재한다는 것도 생각할 수 있다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
“소수는 서로를 알아본다” — 단순한 규칙이 던지는 불편한 질문
소수 판별은 인류가 아직도 완전히 길들여내지 못한 영역이다. 우리는 여전히 어떤 수가 소수인지 확인하기 위해, 앞선 소수들로 나누어보는 원시적인 방법에 크게 의존하고 있다. 이 단순하고도 비효율적인 방식은, 소수라는 존재가 얼마나 무작위적인지를 상징하는 듯 보인다.
그런데 만약, 소수들이 완전히 무작위가 아니라면?
필자가 제시하는 관찰은 놀랄 만큼 단순하다. 어떤 홀수 ( n )에 대해 ( n+2 )가 소수라면, ( 2n+1 ) 역시 소수가 될 가능성이 높다는 것이다.
직접 확인해보자.
3은 ( 3+2=5 )로 소수를 만든다. 그리고 ( 2×3+1=7 ) 역시 소수다.
9는 ( 9+2=11 )로 소수를 만들고, ( 2×9+1=23 ) 역시 소수다.
이쯤 되면 우연이라 치부하기 어렵다. 더 흥미로운 점은, 이 관계가 단순한 숫자 장난이 아니라는 데 있다.
핵심은 나머지 연산, 즉 “구조”에 있다.
( n+2 )가 3의 배수라면, ( 2n+1 ) 역시 3의 배수가 된다. 두 식은 서로 독립적인 것처럼 보이지만, 최소한 특정한 조건에서는 동시에 무너진다. 다시 말해, 이 두 수는 전혀 무관한 존재가 아니라는 뜻이다.
소수는 고립된 점들이 아니라, 보이지 않는 선으로 연결된 점들의 집합일지도 모른다.
물론 이 관찰이 완전한 법칙은 아니다.
예를 들어 ( n=27 )일 때 ( n+2=29 )는 소수지만, ( 2n+1=55 )는 합성수다. 패턴은 깨진다.
하지만 여기서 질문은 끝나지 않는다.
왜 어떤 구간에서는 이 관계가 유난히 잘 맞아떨어지는가?
왜 특정한 구조에서는 두 수가 함께 소수가 되거나, 함께 무너지는가?
우리는 흔히 “소수는 예측 불가능하다”고 말한다.
그러나 이 말은 어쩌면 단순한 무지의 다른 표현일지도 모른다.
지금까지의 수학은 소수를 개별적으로 검증하는 데 집중해왔다. 하지만 이제는 질문을 바꿔야 한다.
“이 수가 소수인가?”가 아니라,
“이 수는 다른 수와 어떤 관계 속에 있는가?”라는 질문으로.
필자의 관찰은 미완성이다. 정교한 증명도 없고, 모든 경우를 설명하지도 못한다.
그러나 한 가지는 분명하다.
소수는 혼자 존재하지 않는다.
그리고 그 사실을 인정하는 순간,
우리가 알고 있던 ‘소수의 세계’는 완전히 다른 모습으로 다시 그려지기 시작한다.
