나의 운명도 여기까지인가. 지난 날들이 파노라마처럼 흘러간다. 지독한 간과 외로움에서도 잠깐 잠깐 오는 기쁨의 순간들. 잠깐의 기쁨을 맛보기 위해, 이렇게 힘든 인생을 우리는 살아가는 것이었을까. 부질없다. 결국은 죽음으로 파산으로 막을 내릴건데, 하 사이비 진보들을 몰아내지 못하고 먼저 쓰러지는게 한스럽다. 모든게 부서지고 무너졌으면. 나만 죽을 순 없으니.
거듭제곱근과 기하평균을 구하는 새로운 근사 방법
거듭제곱근을 구하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 하지만 기존의 방법들은 손으로 계산하기에는 복잡하거나 반복 계산 과정이 어렵다는 한계가 있다. 여기서는 산술평균과 조화평균의 수렴 원리를 이용하여, 거듭제곱근과 기하평균을 쉽게 근사하는 방법을 소개하고자 한다.
먼저 중요한 원리는 거듭제곱근이 여러 수의 기하평균과 같은 성질을 가진다는 것이다.
예를 들어 2제곱근은 어떤 두 수를 곱해서 목표값이 되도록 선택했을 때, 그 두 수의 기하평균을 구하는 문제와 같다.
또한 두 수의 경우 산술평균과 조화평균은 반복할수록 기하평균으로 가까워진다.
산술평균 = (a+b) / 2
조화평균 = 2ab / (a+b)
그리고 두 평균 사이에서도 다시 산술평균과 조화평균을 구하면 점점 같은 값으로 수렴한다.
따라서 2제곱근을 구할 때는 다음과 같이 할 수 있다.
예를 들어 2의 2제곱근을 구한다고 하자.
1과 2를 선택하면
1 × 2 = 2
이므로 두 수의 기하평균은 2의 2제곱근이다.
먼저 산술평균을 구하면
(1+2)/2 = 1.5
조화평균은
2×1×2/(1+2)=4/3=1.3333
이다.
다시 두 수 1.5와 1.3333의 산술평균과 조화평균을 구한다.
산술평균
(1.5+1.3333)/2 = 1.41665
조화평균
2×1.5×1.3333/(1.5+1.3333)
≈ 1.41176
다시 반복하면
산술평균 ≈ 1.41420
조화평균 ≈ 1.41421
이 된다.
따라서
2의 2제곱근 ≈ 1.41421
이라는 값을 손계산으로 얻을 수 있다.
이 방법은 두 수의 기하평균을 구하는 데도 그대로 적용된다.
예를 들어 6의 2제곱근을 구하려면
2와 3을 선택한다.
2 × 3 = 6
두 수의 산술평균
(2+3)/2 = 2.5
조화평균
2×2×3/(2+3)=12/5=2.4
다시 반복하면
산술평균과 조화평균은
약 2.44949
로 수렴한다.
따라서
6의 2제곱근 ≈ 2.44949
가 된다.
하지만 3제곱근 이상에서는 같은 방법을 그대로 적용할 수 없다.
왜냐하면 세 수 이상의 경우 산술평균과 조화평균의 곱이 항상 원래 세 수의 곱과 같지 않기 때문이다.
그래서 새로운 전략이 필요하다.
세 수의 곱이 구하고자 하는 값이 되도록 먼저 세 수를 정한다.
그 후 세 수의 산술평균과 조화평균을 구한다.
그리고 실제 3제곱근 값은 이 두 평균 사이에 있다고 생각한다.
그 사이의 임의의 값을 선택하고, 나머지 한 수는 세 수의 곱이 원래 값이 되도록 계산한다.
이렇게 하면 세 수 사이의 차이가 점점 줄어들고, 반복할수록 세 수는 같은 값으로 가까워진다.
예를 들어 3의 3제곱근을 구해보자.
처음 세 수를
1, 1, 3
으로 선택한다.
곱은
1×1×3=3
이다.
세 수의 산술평균은
(1+1+3)/3 = 5/3 = 1.6666
세 수의 조화평균은
3/(1/1+1/1+1/3)
= 3/(2.3333)
≈ 1.2857
이다.
따라서 3의 3제곱근은
1.2857과 1.6666 사이에 있다고 볼 수 있다.
여기서 중간값을 선택하여
1.5를 두 개의 수로 정한다.
그러면 나머지 한 수는
1.5×1.5×x=3
이 되어야 하므로
x=3/2.25
=1.3333
이다.
새로운 세 수는
1.5, 1.5, 1.3333
이다.
다시 산술평균을 구하면
(1.5+1.5+1.3333)/3
=1.4444
조화평균은
3/(1/1.5+1/1.5+1/1.3333)
≈1.4286
이다.
이제 세 수의 차이가 처음보다 훨씬 줄었다.
이 과정을 반복하면 세 수는 하나의 값으로 모이고,
그 값이 바로
3의 3제곱근 ≈ 1.44225
이다.
결국 이 방법의 핵심은 다음과 같다.
2제곱근에서는 두 수의 산술평균과 조화평균을 반복하여 기하평균을 찾는다.
3제곱근 이상에서는 여러 수의 산술평균과 조화평균을 이용하고, 곱을 유지하는 방식으로 수들을 조정하여 거듭제곱근에 접근한다.
이는 복잡한 공식 없이도 평균의 수렴 원리를 이용해 손으로 거듭제곱근을 찾아가는 방법이다.
이에 대해 챗GPT는 글의 독창성은 평균 반복을 이용해 손계산 친화적인 거듭제곱근 근사법으로 설명하는 방식에 있습니다고 말했다.
;)
