돈을 벌지 못하는 능력없는 가장탓에 집안이 냉기가 돈다. 얼마나 아비가 보기싫으면, 집앞에 전철을 타는데까지 차로 데려다준다해도, 버스타고 간다고 하니 난 좌불안석이다. 울어봐도 소용없고, 미치지 않고는 더이상 버틸 자신이 없다. 이대로 무너지는가 보다.
교육과정에서 소인수분해를 제대로 가르치지 않다고 본다. 짝수는 2가 소인수로 들어있고, 자리수 무관한 합이 3의 배수이면 3이 소인수로 들어있다는것, 일의 자리가 0이나 5로 끝나는 수는 5가 소인수로 있다는 것조차 말하지 않는 듯하다.
사실 소수 판별등 정수론 최고 목표는 소인수분해에 달려있다. 그럼에도 소인수분해가 주요하게 다루어지지 않는듯해서 의아하게 생각한다.
여시서는 순환마디길이를 알면 소수 판별 소인수분해를 쉽게 할 수 있다는 것을 적는다. 즉 순환마디길이와 소인수분해가 서로 연관되어 있다는 말이다.
어떤수는 순환마디길이보다 1큰 수이거나 순환마디길이 배수보다 1큰수가 소인수라는 것이다.
다만 예외가 있다. 사각수등 거듭제곱수는 순환마디길이보다 1큰 수가 소인수가 아닐 수 있다. 가령 49는 순환마디길이가 42로 이보다 1큰수는 소인수가 아니다.
이럴때, 해당수보다 1작은 수와 순환마디길의 퇴대 공약수보다 1큰 수나 최대공약수 배수보다 1큰 수를 소인수로 가진다는 것이다.
앞서 49는 1작은 수 48과 순환마디길이 42의 최대공약수인 6보다 1큰수, 배수보다 1큰수 7이 소인수라는 것이다.
소인수분해를 왜 제대로 가르치지 않는가 — 순환마디와 소인수의 숨은 연결고리
학교 교육과정에서 소인수분해는 초등 과정에서 잠깐 등장하고, 중학교 이후에는 거의 부차적 기술처럼 취급된다.
짝수는 당연히 2를 소인수로 가진다든지, 각 자리수의 합이 3의 배수이면 3이 소인수로 포함된다든지, 끝자리가 0이나 5이면 5가 소인수라는 가장 기본적인 규칙조차 깊이 다루지 않는다.
그러나 정수론의 가장 중요한 목표 중 하나를 묻는다면, 많은 수학자들이 소인수분해라고 답한다.
소수 판별, 암호이론, 대수적 구조 연구 등 거의 모든 정수론의 문제는 결국 “이 수를 어떤 소수로 나눌 수 있는가?”로 귀결되기 때문이다.
그런데도 학교 교육 과정에서는 이 핵심 개념이 충분히 강조되지 않는다.
순환마디 길이로 소인수를 예측할 수 있다
여기서 흥미로운 사실이 있다.
순환소수의 순환마디 길이(1/정수의 소수 표현에서 반복되는 주기)는 소수 판별과 소인수분해와 직결되어 있다는 점이다.
어떤 자연수
n의 순환마디 길이를
L이라고 할 때,
대부분의 경우 아래와 같은 특징이 나타난다.
n의 소인수 중 하나는 ‘순환마디 길이보다 1 큰 수’이거나,
‘순환마디 길이의 배수보다 1 큰 수’에 존재한다.
즉 순환마디 길이가 단순히 1/ n 의 표현을 꾸미는 장식적 정보가 아니라,
n이 어떤 소수로 나누어지는지를 암시하는 구조적 단서가 되는 것이다.
거듭제곱수의 예외와 그 해결 구조
물론 이 규칙에는 예외가 있다.
특히 제곱수(사각수) 처럼 거듭제곱 구조가 있는 수에서는 그대로 적용되지 않는다.
가령 49를 보자.
49의 순환마디 길이는 42이지만,
“42보다 1 큰 수(43)”는 49의 소인수가 아니다.
순환마디만 보고는 소인수를 바로 찾기 어려운 대표적 사례다.
그렇다고 해서 규칙이 완전히 무너지는 것은 아니다.
이런 예외적 상황에서는 다음과 같은 보완 원리가 적용된다.
n보다 1 작은 수와 순환마디 길이의 최대공약수(GCD)를 이용한다.
그 GCD보다 1 큰 수 또는 그 배수보다 1 큰 수에 소인수가 존재한다.
49의 경우를 다시 보자.
49보다 1 작은 수: 48
순환마디 42와 48의 최대공약수: 6
6보다 1 큰 수 또는 6의 배수보다 1 큰 수 7
결국 49의 소인수는 이 구조에서 자연스럽게 다시 등장한다.
정리하자면
순환마디 길이는 단순히 분수의 소수 표현에서 반복되는 숫자 패턴이 아니다.
그 속에는 정수의 구조, 특히 소인수의 위치를 짚어낼 수 있는 정보가 숨어 있다.
학교 교육과정에서 소인수분해가 기술적 훈련 수준으로만 머물러 있는 현실을 떠올리면,
이러한 ‘보이지 않는 구조’는 더 적극적으로 소개될 가치가 있다.
소인수분해는 정수론의 출발점이자 목적지이며,
순환마디 길이와의 연관성은 그 구조적 아름다움을 잘 보여주는 사례다.
이에 대해 챗GPT는 배우기 쉬운 방식으로 어려운 개념의 구조를 재해석했다고 말했다.
