희생양이 필요하다. 파산에 다가오자, 누군가 이 모든 문제의 원인을 뒤집어씌워 처벌을 해야 조금은 분노가 가라라앉을 듯하다. 그 누군가는 여당은 물론 야당도 포함해서 정치인과 언론에 성공한 사람으로 오르내리는 공인이였으면 하는 마음이다. 우리는 의사와 검사들에 질투감이 크다. 나는 이렇게 힘든데, 그들은 지배의 기쁨을 만끽하는 듯하기 때문이다. 그리고 그들이 생각하지 못하는 기울어진 운동장 같은 현 시장상황에 대해 불만을 갖기 때문이다.
필자는 획일적인 공교육이 망국적인지, 대체교육이 아닌 그런 획일적 교육을 강화시키는 사교육이 망국적인지 잘 모르겠다.
어쨌든 획일적 공교육을 통해 줄세우기를 하는 교육이 문제라는 것은 한번쯤 생각해보면 잘못됏다고 느낄 수 있을 것이다.
그런 상태에서 사교육을 줄이겠다는건, 단식중인 사람앞에서 통닭을 뜯는 거나 마찬가지다. 획일적인 공교육의 수행능력으로 대학과 직업이 결정되니 말이다.
메르센 수에서 메르센소수를 가려내는 일이란게 쉽지 않다.
일단 메르센 수의 지수가 소수이면, 메르센수가 소수가 될 확률은 높다.
2의 5제곱-1인 31은 지수 5가 소수이고,그에 따라 31이 소수가 된다. 이는 당연히 쉽게 이해할 수 있다. 지수가 합성수이면, 해당 소인수를 지수로하는메르센 수로 나누어떨어지기 때문에 소수가 아니라는 것이다.
그러나 지수가 소수라해도 반드시 소수가 되는 것은 아니다.
2의 11제곱-1인 2047은 지수가 11로 소수라해도 2047은 23과 89로 나누어 떨어지는 합성수이다.
그러면 더 이상의 손쉬운 판별은 어려운가. 그러나 순환마디길이를 알면된다.
메르센 소수의 순환마디길이는 소수에서 1뺀 수의 약수에 해당된다. 참고로 소수가 아니더라도 메르센 수의 순환다길이는 지수의 배수인 경우가 대부분이다.
가령 2의 5제곱 -1인 31은 순환마디길이가 15로 31에서 1적은 30의 약수가 된다.
그러나 2047의 순환마디길이는 44로 2046의 약수가 되지 못한다. 소인수 2가 순환마디길이에 더 들어있다.
다음은 챗GPT가 보충해서 리와이팅한 글이다.
메르센 수와 메르센 소수 판별법
메르센 수는 다음과 같은 형태를 가진 수입니다.
Mp=2p−1
여기서
p 는 양의 정수입니다. 특히,
Mp 가 소수일 때 이를
메르센 소수라고 합니다. 하지만 모든 메르센 수가 소수인 것은 아닙니다.
메르센 소수를 판별하는 일은 쉽지 않으며, 특정한 수론적 성질을 활용해야 합니다.
1. 메르센 수의 지수와 소수성의 관계
메르센 수가 소수가 되려면 지수
p 가 반드시 소수여야 합니다.
-
만약
p 가 합성수라면,
Mp 는 항상 합성수입니다.
예를 들어,
p=6 일 경우:
26−1=63=3×21
와 같이 합성수가 됩니다.
-
하지만
p 가 소수라고 해서 반드시 Mp 가 소수인 것은 아닙니다.
예를 들어,
M11=211−1=2047=23×89
이므로,
2047 은 소수가 아닙니다.
2. 메르센 소수와 순환마디길이
메르센 수가 소수인지 판별하는 한 가지 방법은 순환마디길이를 확인하는 것입니다.
-
어떤 소수
p 에 대해
Mp 가 소수라면,
그 순환마디길이는 p−1 의 약수여야 합니다.
-
일반적으로 메르센 수의 순환마디길이는 지수
p 의 배수가 되는 경향이 있습니다.
-
하지만
Mp 가 소수가 아닐 경우, 순환마디길이가
p−1 의 약수가 되지 않을 가능성이 높습니다.
예를 들어:
-
M5=25−1=31 은 소수이며,
순환마디길이는 15로 30(=
5−1 의 두 배)의 약수입니다.
-
반면,
2047의 순환마디길이는 44로, 2046(=
11−1 의 두 배)의 약수가 아닙니다.
이러한 특징을 이용하면, 단순한 소수 판별법을 적용하기 어려운 큰 수에 대해서도 순환마디길이를 통해 소수 여부를 빠르게 의심해볼 수 있습니다.
3. 결론
메르센 소수를 판별하는 과정은 단순한 소수 판별보다 훨씬 어렵습니다. 하지만
물론, 실질적인 큰 수의 메르센 소수를 판별하려면 루카스-러머 테스트 같은 정밀한 알고리즘이 필요합니다. 하지만 위의 개념을 활용하면 보다 직관적으로 메르센 소수의 특성을 이해하고 판별하는 데 도움을 줄 수 있습니다.
