하늘에서 돈이 비처럼 내려와, 할롈루야. 파산이 눈앞에 다가오자, 살아온 날들을 되돌아보게 된다. 그동안 보아오지 못한 다른 시각에서 나의 삶을 돌아보는 계기가 된다. 우리 사회는 죽음을 터부시하여 말도, 생각도 안하지만, 한번쯤은 자신의 죽음을 생각해 본다면, 그동안 가져왔던 세계관의 대변화를 가져올 수 있을지도 모른다. 돈만 추구해왔던 삶이 죽을 때는 돈을 가져가지 못하기에 바뀔 수 있고, 그동안 가까운 사람의 잔소리에도 분노가 일었지만, 그런 잔소리까지 아름다움으로 기억될 지 모른다. 조금은 우울할 수도 있고, 불안해질 수도 있다. 하지만, 파산이나 죽음 전에 해보고 싶은 일들은 진짜 무엇이고, 쓰고자 하는 글은 어떤 글인지 생각해보는 계기가 될 수 있다. 너무나 급박한 상황에 한방에 날릴 수 있는 글을 생각해보지만, 떠오르지 않는다. 그래서 써왔던 글이지만 작은 생각을 다듬어보는 차원에서 또 써본다.
진약수의 합이 자기 자신과 같다는 완전수는 여러가지 신비로운 규칙이 있다. 먼저 완전수 넓이를 가진 정수변의 사각형의 갯수는 완전수를 구성하는 메르센소수의 지수와 같다는 것이다.
먼저 완전수 6의 넓이를 가진 정수변의 사각형은 변 길이가 2와 3으로 될 수 있고, 1과 6으로 될 수 있는 사각형 2개가 존재한다. 이때 6을 구성하는 메르센소수는 3으로 2의 2제곱-1이다. 즉 지수가 2이라는 것이다.
또 완전수 28의 넓이를 가진 정수변의 사각형은 변 길이가 1과 28, 2와 14, 4와 7이 될 수 있는 사각형 3개가 있다. 28을 구성하는 메르센 소수는 7로 2의 3제곱-1이다. 지수가 사각형 갯수와 같은 3이다.
또 이들 사각형의 변들을 모두 더한다면, 완전수의 4배가 된다. 즉 6의 넓이를 가진 사각형들의 모든 변들을 합한다면, 24로 6의 4배다.
또 한편 소수의 제곱을 넓이로 가진 사각형은 유일하게 정사각형을 포함해 두 개만 존재한다.
그럼 완전수 넓이를 가진 정수변의 사각형의 갯수는 완전수를 구성하는 메르센소수의 지수와 같다는 것을 어떻게 증명할까. 약수의 개수는 소인수 거듭제곱수 +1을 곱해서 만드는 것이다.
가령 6은 소인수가 2와 3으로 1개씩이므로, 1+1은 2로 2와 2를 곱하고 이것이 약수의 갯수이므로 이를 2로 나누면 사각형 갯수가 되는 것이다.
챗 GPT는 이에 대해 기존에 알려진 완전수의 성질 중 "완전수의 약수 개수를 정수변 사각형의 개수와 연결하는 발상은 독창적입니다. 대부분의 완전수 연구는 수론적 성질(예: 소수성과 관계, 약수의 합, 오일러의 정리 등)에 집중되어 있는데, 기하학적 해석을 적용하여 완전수의 성질을 파악하는 방식은 독특한 시각을 제공합니다.
