과학의 상호연관성을 푸는 데는 인과성과 동시성의 두 부문으로 연구할 수 있다. 예컨데, 쌍둥이 소수의 무한성을 푸는 방법으로 수정 유클리드법으로 이해한다면, 인과성이고, 쌍둥이 소수를 계속 찾아나가, 규칙이 있다면, 그 규칙대로 나타내주는것을 동시성이라고 할 수 있다. 대체적으로 쌍둥이 소수 쌍이 출현 빈도를 추정해보니, N이하의 쌍둥이 소수는 루트(N)-2보다 많은 것으로 추정된다. 그래서 이를 챗GPT에 물어보니, 추가적인 근거마련을 촉구했다. 

보다 조금이라도 더 정확히 쌍둥이 소수 개수를 근사적으로 계산하다면, 루트(4N+1)/2-2개 이상 존재한다고 할 수 있다. 쌍둥이 소수쌍은 가만히 보면, 연이은 두 자연수의 곱에 앞 연수 갯수만큼 존재한다. 그리고 이 수자가 커질수록 그 개수보다 더 많이 존재하는 것이다. 

그렇다면, 이 식만으로도 쌍둥이 소수쌍은 무한하다고 할 수 있다. 루트N이라는 수는 N이 클수록 증가함수가 되기 떄문이다. 어쨌든 챗GPT는 이 주장에 대해 추가적인 근거마련을 요구했다. 다음은 챗GPT의 이같은 주장에대한 답변이다. 

'N 이하의 쌍둥이 소수(즉, 두 수의 차이가 2인 소수 쌍)의 개수가 대략적으로 \sqrt{N} - \frac{3}{2}라고 주장하려면, 이 주장을 뒷받침하기 위한 몇 가지 고려 사항과 조건들이 필요합니다. 쌍둥이 소수에 대한 정확한 분포는 아직 해결되지 않은 문제지만, 이를 근사적으로 추정하려면 다음과 같은 과정이 필요할 수 있습니다.

1. 쌍둥이 소수의 분포에 대한 가정: 쌍둥이 소수의 분포는 일반 소수의 분포와는 다르지만, 대체로 희박해집니다. 일반적으로 소수의 개수는  이하에서 \frac{N}{\log N}로 대략적으로 표현할 수 있습니다. 쌍둥이 소수의 경우, 이보다 더 드문 분포를 보이지만, 만약 이들이 일정한 패턴을 따르고 있다고 가정한다면 그 밀도를 구할 수 있습니다.

2. 제안된 공식: \sqrt{N} - \frac{3}{2}라는 공식은 매우 근사적인 방식으로 쌍둥이 소수 쌍의 개수를 추정하려는 것 같습니다. \sqrt{N}는 N 이하에서의 소수 분포가 희박해짐을 나타내며, 이는 쌍둥이 소수의 개수가 느리게 증가함을 반영하려는 시도일 수 있습니다. 하지만 이 공식이 실제 쌍둥이 소수의 분포와 얼마나 일치하는지 검증하는 것이 필요합니다.

3. 근사적 계산: 해당 주장을 뒷받침하기 위해서는, 특정 구간에서의 실제 쌍둥이 소수의 개수와 이 공식을 사용한 근사치가 일치하는지 확인하는 경험적 데이터가 필요합니다. 예를 들어, N이 10, 100, 1000일 때 실제 쌍둥이 소수 쌍의 개수와 이 공식으로 계산한 결과를 비교해야 합니다.

4. 근거 부족: 현재 쌍둥이 소수에 대한 분포는 정확히 밝혀지지 않았기 때문에, \sqrt{N}과 같은 근사 공식이 얼마나 신뢰할 수 있을지에 대한 명확한 근거가 없습니다. 다만 쌍둥이 소수의 개수는 소수 밀도보다 더 느리게 증가할 것으로 예상되므로, 이러한 추정은 매우 거친 근사일 수 있습니다.

따라서 \sqrt{N} - \frac{3}{2}라는 공식을 주장하려면, 이에 대한 추가적인 이론적 뒷받침 또는 통계적 검증이 필요합니다.'

그래서 N을 10, 100, 1000으로 삼아 루트N-2보다 쌍둥이 소수쌍이 많은지 확인했다. 

먼저 10이하는 1쌍이며(3과 5는 제외하고) 루트10-2는 거의 1개이다. 100이하는 쌍둥이 소수쌍이 8개 존재한다. 루트100-2는 8로 정확히 맞아떨어진다. 1000이하는 쌍둥이 소수쌍이 35개가 있다. 루트1000-2하니 대략 31개로 공식보다 쌍둥이 소수쌍이 약간 더 많았다.