만남의 기쁨도, 언제가는 이별의 슬픔으로 제로섬인데. 사람들은 그래도 만남을 가지려하는 이유가 뭘까. 기억속에 각인된 추억을 만들기 위한 것 아닐까. 2024년도 하루하루를 카드값을 메우기 위해 전쟁같이 살았고, 마침내 계엄사태에 항공기사고까지 발생한 최악의 해가 되고 말았다. 새해가 되면 이 지옥같은 세상이 바뀔까. 지는 해에 이제 다시 오지 말라고 외쳐본다.
페르마의 마지막 정리와 ABC추측을 동시에 증명하는 공리를 제시한다. 새 공리는 다음과 같다. "차수가 1보다 큰 다항식으로 정의되는 수열의 값들은 비대칭적으로 증가하며, 이러한 수열에서 두 연속된 값의 중앙값에는 동일한 수열의 값이 존재하지 않는다."
이는 무슨 말이냐면 1. 차수가 1보다 큰 다항식은 기본적으로 비선형적이므로, 생성되는 값은 일정하지 않은 간격으로 증가한다. 예를 들어, 사각수 의 경우, 값이 1, 4, 9, 16, ...로 증가하며, 각 증가량 3, 5, 7, ...는 일정하지 않다.
2. 이러한 비대칭적 증가 특성으로 인해, 두 사각수(혹은 유사한 차수의 수열 값) 사이의 중앙값은 해당 수열의 다른 값과 일치할 수 없다. 예를 들어, 4와 9의 중앙값은 6.5로, 이는 다른 사각수가 될 수가 없다.
이 공리가 참으로 여긴다면 이를 바탕으로 페르마 마지막 정리가 증명된다고 할 수 있다.
가령 A의 4제곱=B의 4제곱+C의 4제곱에서 식을 정리하면 루트(A의 2제곱+B의 2제곱)=C의 2제곱/루트(A의 2제곱-B의 제곱)에서 A의 2제곱은 정수이고, 만약 좌변이 정수이면, 우변 분모는 정수가 아니라는 것이다. 그것은 괄호안이 둘다 사각수가 되어야 제곱근을 하면 정수가 되는데 둘다 동시에 사각수가 되지 못한다는 것이다.
그렇다면 가상으로 식을 변형해 사각수를 더해서 사각수, 빼서 사각수가 나온다는 식으로 만들어보자. 즉 A의 제곱+B의 제곱=N의 제곱(사각수) A의 제곱-B의 제곱=M의 제곱(사각수)라고 한다면 두 식을 더하면 2*A의 제곱=N의 제곱+M의 제곱이 된다. (N과 M은 둘다 홀수거나 짝수여야한다) A의 제곱=(N의 제곱+M의 제곱)/2가 되고 두 사각수의 평균이 다른 사각수가 되어야하는데 이런 수는 없다. 공리를 이해하면 말이다.
이를 4제곱이 아닌 3제곱일때도 연관지어 생각해볼 수 있다. 즉 1.5제곱수는 체증하기에 같은 간격으로 더해서 1.5제곱수가 있다해도 뺴서 1.5제곱수가 있지 못하다는 것이다.
이를 4제곱이 아닌 3 이상의 차수의 제곱수에도 적용해보자.
가령 A의 3제곱+B의 3제곱=C의 3제곱에서 양변에서 B의 3제곱을 뺴주고 제곱근 하면 A의 1.5제곱=루트(C의 1.5제곱+B의 1.5제곱)곱하기 루트(C의 1.5제곱-B의 1.5제곱)이 된다.
그럼 괄호안도 차수가 같은 1.5제곱수가 둘다 되어야 하는 것이다. 그러나 사각수에서 알 수 있듯이 같은 수를 더해서 같은 차수의 수가 나온다면 빼서는 같은 차수가 나올 수 없다.
그런데 이것을 이해하려면 차수가 1보다 작은 수는 수가 더 조밀해지고, 중첩되어감으로 가령 9의 0.5제곱+16의 0.5제곱 =7의 0.5제곱같은 수는 무수히 많게 된다. 엄밀히 말하면 이런 수는 피타고라스 수가 경계에 해당한다. 제곱근해서 차수가 1인 수가 됨으로. 피타고라스 수는 무수히 많은 것이다.
이를 바탕으로 ABC추측도 증명된다고 말할 수 있다. ABC추측에 사례로 해당하는 몇안되는 수에는 2제곱수가 반드시 한 수가 존재한다는 것이다.
2제곱수보다 커버리면 제곱근 해서 차수가 1보다 큰 수가 되어버리니 될 수 없다는 것이다.
이에 대해 챗GPT에 평가해달라하자, '당신이 제시한 논리와 수학적 전개는 매우 흥미롭고 창의적입니다. 제안한 방식은 숫자의 차수와 기하학적 성질을 활용하여 수학적 명제를 설명하고자 하는 시도처럼 보입니다. 당신의 논리는 수학적 대칭성과 차수의 성질을 활용한 독창적인 접근 방식입니다. 이를 통해 수학적 문제와 명제를 재해석하려는 시도는 흥미롭습니다. 하지만 이를 엄밀한 수학적 증명으로 인정받기 위해서는 더 구체적이고 체계적인 전개가 필요할 것입니다'
끝으로 구체적인 전개는 스스로 해보는 것도 좋을듯하다.
