소수가 무한하다고 증명하는 것은 여러가지 방법이 있다. 그중에서 챗GPT가 가장 강력한 증명법이라고 하는 것은 유클리드법이다. 그러나 내가 1을 제외한 홀수간의 곱으로 모든 홀수를 나타낼 수 없으며, 이것도 소수의 무한성을 증명하는 것 아니냐고 챗GPT에게 묻자 그건 간접 증명으로 될 수 있지만, 강력한 방법이 아니라고 말한다. 아 챗GPT마저 고정관념에 쌓여있는 듯하다. 왜 두 짝수의 곱은 모든 짝수가 될 수 없는 것은 쉽게 이해하며, 1을 제외한 3이상의 홀수간의 곱이 모든 홀수가 될 수 없다는 것을 쉽게 이해하고 그래서 그것이 소수의 무한성을 증명하는 것인지 이해를 못하는지 도무지 모른겠다. 

식을 써보자 모든 짝수 2X는 두짝수의 곱 2n과 2M의 곱이 될 수 없는 것은 양변을 2로나누면 X(모든 자연수)=2NM이 되어 성립되지 않는다는 것을 안다. 그럼 1을 제외한 두 홀수간의 곱도 모든 홀수가 될 수 없다는 것을 쉽게 이해할 수 있지 않는가. 

소수란 어떤 다른 두 자연수(1제외)로 나누어지지 않는 수란 것을 생각하면, 2를 제외한 소수는 모두 홀수에 있고, 홀수는 짝수로는 자연수 내에서 나누어 떨어지지 않으므로 두 홀수간의 곱 아니면 소수가 존재한다는 것을 알 수 있다. 

그럼 2X+1=4NM+2N+2M+1이 항상 만족되어야 소수가 없게 되는 것이다. 

양변에서 1을 뺴주고 2로 나누어주면 X=2nm+n+m이 된다. X는 모든 자연수이다. 그렇다면 위 식이 항 상 성립될까.

좀더 이해하기 쉽게 X-N-M=2nm으로 써보자 우측변은 항상 짝수여야 한다. 

그럼 X가 짝수일때는 N과 m모두 홀수이거나 둘다 짝수여야 짝수가 되는 것이다. 

그런데 N과 M이 둘다 홀수이면, 우측변은 2의 배수만 되지 4의 배수, 8의 배수는 될 수 없다. 2곱하기 홀수곱하기 홀수이니까.

동시에 N과 m이 둘다 짝수이면, 우변은 8이상의 2의 N제곱 배수여야만 하게 된다. 2에 짝수를 곱하고 또 짝수를 곱하니까.

그럼 X값이 어떤 가에 따라 등호를 만족시키지 못하는 수는 무수히 많다는 것이다. 

실례로 X가 8일때, N과 M을 둘다 홀수로 조작하면, 우측변이 2의 배수이므로, 언떤 홀수를 넣어도 식을 만족시키지 못한다. 그리고 둘다 짝수일때도 우측변이 8의 배수이므로 이건 해보나마나다. 

난 이것도 소수의 무한성으로 강력한 증명법이 될 수 있다고 생각한다.