완전수란
(1+X+X^---)(1+Y+Y^---)=2*X의 거듭제곱*Y의 거듭제곱
의 식을 만족해야 한다.
(X와 Y는 홀수 소인수 즉 홀수 소수이다)
1, 약수의 합은 소인수를 등비로하는 소인수 거듭제곱까지의 등비수열간의 곱이다
2, 소인수 등비수열간의 곱이 해당수의 2배가 되어야 완전수가 된다.
3, 홀수 완전수가 되기 위해선, 소인수가 모두 홀수이며 약수의 합은 2곱하기 홀수가 되어야 한다.
4, 3을 제외한 소수(X나 Y)는 모두 6N+1, 6N-1이다.
5, 소인수 등비수열이 1+소인수X+X^---꼴이므로, 이 수가 짝수가 되기 위해선 소인수 분해시 지수가 홀수여야 한다.
6, 그런데, 소인수가 3이 되면, 3의 홀수제곱에 1을 더하면 짝수가 되지만, 4의 배수가 되어, 홀수 완전수가 되기 위한 2*홀수가 되지 못한다.
7, 6N-1일때도, 여기에 1을 더하면 6의 배수가 되어, 소인수에 반드시 3이 포함되어야 하는 문제가 된다. 6N+1일때도 1을 더하면 6n+2가 되어, 2의 배수가 아닌 4 내지 8의 배수가 되어버린다.
결론 홀수 완전수는 없다.