메르센 소수의 무한성을 증명하는 것은 소수가 무한하다는 증명보다 솔직히 나에게는 어렵다. 그러나 직접적인 증명은 아닐지라도 구조적인 유사성을 근거로, 메르센 소수는 무한하다고 할 수 있음을 주장한다. 동시에 메르센 소수의 무한성은 완전수도 무한하다는 것을 증명하는 것이다.
먼저 두 비례식은 서로같거나, 전혀 등호가 성립할 수 없거나, 딱 등호가 성립할 수 있다는 것을 이해하자. 가령, 2N과 2M+1(N과M은 자연수) 등호가 성립하는 경우가 없다. 그러나 비만 다른 비례식인 2N과 3M은 딱 한차레 등호가 성립한다. 아니면 항상 같다고 할 수 있다.
그러나 기하식과 비례식은 어떤가? 가령 2의 N승과 4M은 등호가 성립할 수 있는 경우는 무수히 많다는 것을 알 수 있다. 그러나 2의 N제곱과 5M과 같이 전혀 등호가 성립할 수 없는 겨우도 있다. 이유는 짝수의 곱만으로 이뤄진 수와 그렇지 않은수이다. 따라서 기하식과 비례식은 전혀 등호가 성립되지 않거나 성립한다면 무수히 많은 해를 갖는다고 할 수 있다.
그렇다면 메르센 소수의 식을 살펴보자.
2의 N승-1이 메르센 소수가 되려면 6(6ab+a+b+또는-1)+1이어야 한다는 기본적인 식을 살펴보자. 단 괄호안은 다른 6cd-(c+d)가 아니어야 한다는 것을 전제로 한다. 괄호안도 하나의 조건식으로 만들수 있지만, 식이 복잡해져 이해하는 것만 어렵게 하기에 전제 조건을 달고 가장 간단한 식으로 표현했다는 것을 차고하자.
그러면 이식의 꼴은 좌변이 기하식 2의 N승이며 우변은 6(6ab+a+b+또는-1)+2인 비례식이 된다. 또한 양변을 2로 나누면 2의 N-1승 우변 3(6ab+a+b또는 +2)인 식이 되는 것이다.
실제 좌변 N-1이 짝수일때는 항상 3으로 나누어떨어지며, 우변은 3의 배수(모든 자연수는 아니지만)의 꼴로 표현될 수 있는 식이 된다.
어쨌든 우린 자연수 범위에서 기하식과 비례식은 무한히 등호가 성립될 수 있다는 것을 인정하기만 하면 메르센 소수는 무한하다고 증명하는 것이다.
즉 2의N제곱과 3M꼴 비례식에 등호를 만족시키는 자연수 N과 M은 무한하고 즉 메르센 소수는 무한하다고 할 수 있다.