페르마의 마지막 정리를 증명하는 방법은 여러가지가 있다. 문제는 누구나 알기 쉽게 증명하느냐에 달렸다고 본다. 누구나 알기 쉽게 증명하는 것은 그러나 생각보다 어렵다. 먼저 증명자가 완벽히 이해하는 것이 필요하고, 되도록 쉬운 말로 정의할 수 있어야 한다. 우리의 수학은 많은 부분 소통의 난해함이 존재한다. 수식으로 설령 증명했다 하더라도, 실물적 현상에서 설명하기란 더더욱 어렵다.
페르마의 마지막 정리가 참이란 것을 이해하기 위해서는 두 사각수의 평균은 어떤 사각수가 될 수 없다는 것에 있다. 이를 인정하기만 하면 페르마의 마지막 정리를 참이라고 증명하기란 쉽다. 또한 마찬가지 원리로 두 삼각수의 산술평균은 어떤 삼각수도 될 수 없다는 원리도 마찬가지라고 생각할 수 있다.
그래서 삼각수의 경우를 생각해보자.
만약 두 삼각수의 산술평균도 삼각수라면 여기에 2를 곱해주면, 두 삼각수의 합이 연속하는 두수의 곱이(삼각수는 연속하는 두 자연수의 곱에서 2로 나눈 수니까)되는 것이고, 연속하는 두수의 곱은 한 삼각수를 두번 더한 값이기에, 서로 다른 두 삼각수의 합이 한 삼각수의 2배와같지 않을 것이란 것을 생각할 수 있다.
이와 마찬가지로 두 사각수의 산술평균이 사각수가 될 수 없는 이유는 사각수간의 간격이 대칭을 이루는 것이 아니라, 한 사각수에서 큰 사각수와 작은 사각수간의 차가 같지 않는다는 것이다. 누적해 증가하기 때문이란 것이다. 사각수는 수가 커질수록 희귀해지는 것이라고 해도 될 듯싶다. 산술 증가와 기하증가의 차이를 말한다고 할 수 있다. 여기에서 더 나아가, 지수가 1보다 큰 수간에서 두 1보다 큰 지수를 가진 수의 평균이 같은 지수의 수가 될 수 없다고 생각하면 될 것이다.
또하나, 어떤 두 사각수의 합이 2배의 어떤 사각수란 식이 성립한지는 이식이 성립하기 위해선 루트2* 루트(어떤 사각수)를 대각선으로 하고, 각 두 사각수 제곱근을 변으로 하는 직각사각형의 꼴이 된다. 사각수들을 제곱근하면 정수가 나오지만, 결국 대각선이 루트2배가 되는 정수변의 직각사각형을 찾아야 하는데, 결국 세 사각수들이 모두 같은 수일때만이 정수가 된다는 것을 말하는 것이라고 할 수 있다.
그럼 왜 이것을 증명하는 것이 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것일까? 페르마의 마직막 정리는 a의n제곱+b의 n제곱=c의 n제곱일때, abc모두 정수가 되려면 n이 2 이하여야 한다는 것이다. 그런데 이식을 인수부해하면 (c의 n/2제곱-b의 n/2제곱)=a의 n제곱/(c의 n/2제곱+c의 n/2제곱)이 양변이 모두 정수가 되려면 양변의 괄호안이 모두 정수가 되어야 하는 것이다.
c의 n/2제곱-b의 n/2제곱=X의 n/2제곱이라면(X는 정수)c의 n/2제곱+c의 n/2제곱=y의 n/2제곱(y도 정수)에서 2*C의 n/2제곱은 X의 n/2제곱+Y의 n/2제곱 이 되어야 하고, 가령 N=4라고 한다면, 정수가 된 해가 없다는 것을 풀이하는 것이다. n은 3을 넣어도 치환해서 생각하면 이해할 수 있다.