완전히 주관적인 글이란 것을 미리 밝힌다. 수학공부를 많이 해보지 않아서 시중의 수학 책들만 보고 평가하면, 우린 공식을 외우고 이를 적용해 답을 내는 것을 중요시하는 듯하다. 가령 2차방정식도 근의 공식을 이용해, 주어진 방정식의 근을 찾는 것이 중점이 되고 있다. 그러나 나이들어 사회과학이나 자연과학에서 수학을 적용할 때는 단지 수치 계산보다도 구조의 이해가 우선시된다. 경제학에서도 비용 편익의 계산은 여러가지로 개발되고 있지만, 수치적인 완전한 답을 구하기는 어렵다. 그것은 만족도란 것은 매우 주관적이어서 수치화가 어렵기 때문이기도 하다. 그렇더라도 비용 대비 효과가 큰 제품을 선별하는 것은 중요한 덕목이다. 수리적 구조라고 할 수 있다.
2차방정식이나 3차방정식에서 근의 공식을 유도하는 방법은 여러가지가 있지만, 지금 교육되고 있는 방식은 원리의 이해와는 다르다고 생각한다. 2차방정식의 두 근은 산술평균과 대칭적으로 존재한다는 것을 바탕으로 유도한다면 유도방법이 3차방정식의 유도방법과 유사하게 이뤄져야 한다.
이차 방정식과 3차방정식의 구조의 대한 이해는 임의 두수를 상정하고 이들의 평균값에서 각각 한 수와의 거리를 비교해보면 안다. 2차방정식은 두 수 모두 평균에서 거리가 같다는 것을 이해하면 된다. 3차방정식도 마찬가지로 어떤 임의의 세 수를 상정하더라도 산술평균에서 한 수와의 거리는 나머지 두수와 평균까지의 각각의 거리의 합과 일치한다는 것이다. 2차방정식과 3차방정식을 교육한다면 이것을 배우고 가르쳐야 한다는 생각이다.
그럼 대표적인 2차방정식이나 3차방정식에서 X값에 -산술평균에 플러스 알파(평균에서 근까지의 거리)를 대입해서 풀면 새로운 평균에서 근까지의 거리를 근으로 하는 방정식이 나온다는 것이다. 이 방정식은 최고차항보다 한 차수가 낮은 항이 0으로 제거되기에 풀기가 쉬원진다. 2차방정식의 경우 알파는 -근까지의 거리의 식으로 나오는 것은 쉽게 정리할 수 있다.
그런데 중요한건, 2차방정식의 구조와 3차방정식의 구조를 이해하면, 수없이 많은 문제를 푸는 데 도움이 된다. 멀리 던진 돌맹이가 지금까지 알고 있듯이 2차방정식의 포물선을 그리면서 날아가 떨어지는 것이 아니라, 3차항의 포물선을 그리면서 나갈 것으로 생각하는 것은 수치의 계산이전에 구조만 이해하더라도 생각할 수 있는 사항이다.
또 질량보전의 법칙과 엔트로피의 증가를 이해하는 것은 변수가 3차식이어야만이 이해될 수 있다. 더욱이 제로섬식 사고방식도 모두 2차함수식 개념이란 것까지도 이해하는 도움이 된다고 생각한다. 연산 훈련보다는 구조의 이해가 더 가치가 크다고 생각하는 이유다.