먼저 쌍둥이 소수는 무한하다. 여러가지 증명법이 있겠지만, 소수의 무한성을 가장 먼저 증명한 방법을 수정해서 쌍둥이 소수의 무한성을 증명하는 방법이 있다.
2, 3 부터 소수를 차례로 곱해가며 그때 그때 나온수에 +1, -1한 두 수는 쌍둥이 소수이다. 단 소수가 아닌경우는 앞서서 그 소인수가 2의 차이를 두고 쌍둥이 소수이기 때문에 이런식으로 계산해나가면 쌍둥이 소수는 무한히 나온다.
다른 무한성 증명법도 많지만, 갯수를 추정하는 방법으로 삼각수와의 관계를 따져보면 좋겠다.
삼각수의 2배한 수의 +1.-1인 두 수는 쌍둥이 소수일 가능성이 높다. 아니면 그보다 6의 차로 근거리에 쌍둥이 소수 쌍이 존재한다.
그러면 쌍둥이 소수의 갯수는 그 삼각수를 마지막으로 더한 자연수 갯수 근소하게 많은 근사값이 된다고 할 수 있다.
물론 아직은 좀더 정교하게 다듬어질 필요가 있다.