작지만 큰 수학의 혁명(26)-서술적 증명
수라는 것도 넓은 의미의 언어이다. 수학책을 보면 무언가 부족하다는 생각을 하게 된것이, 대학 경제학책을 보면 들게 된다. 증명을 서술적 증명과 수리적 증명 등의 여러 방법으로 교차하며 설명하고 있다. 만약 우리의 수학책에 서술적 증명을 포함하면 어떨지 생각해보게 되는 것이다.
최근 절대부등식을 썼으니, 이 부분만 가지고 생각해본다. 모든 양수에서 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다를 증명하라고 한다면, 어떻게 해야 할까?
교과서에서 나오는 수리적 증명만 가지고는 매우 어렵다. 만약 두 수 이상의 수에서 산술평균은 한 수와의 차가 나머지 모든 수와의 각 차들의 합과 같다는 것을 이해하고, 이를 통해서 서술적으로 모든 양수에서 합이 일정할때 곱이 최대려면 각 수는 같아야하고, 곱이 일정할때 합이 최소가 되려면 각수는 같은 수여야 한다고 하면 이해될 수 있는 것이다.
두수에서만 먼저 살펴보자. 산술평균에서 두 수는 대칭적으로 존하기에 산술평균에서 +a, -a해준수가 해당수가 될 것이다.
그럼 (평균+a)(평균-a)가 두수의 곱이 되고, a가 0이 될수록 두수의 곱은 최대값이 된다고 할 수 있다.
동시에 두수의 곱이 일정하다면 평균^-a제곱의 값이 일정하면, a가 커지면 평균도 커져야 값이 일정하므로, a각 작아져서 0이 되면, 평균값은 가장 작은 값이 될 수 있다.
즉 합이 최소가 되려면 a가0이되어야 한다. 이런 과정으로 모든 양수도 같은 결과가 될 것이다고 할 수 있다.
서술적 증명은 이런 장점외에도 수의 실물적 가치를 표현할 수 있다. 페르마의 마지막 정리를 서술적으로 표현하다면, 정수변의 정육면체가 두개의 부피합은 다른 정수변의 정육면체와 같을 수 없다는 것으로 설명된다.
서술적 증명과정을 쓰지 않더라도 서술적 표현은 서술적 가치까지 담을 수 있음은 무리가 없다. 증명 방법을 서술적으로 하는 것 또한 매우 가치가 있을지 모른다는 생각이다.