세 수에서 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 것을 증명하는 식은 고교 교과과정에서 배우지 않는다. 그러나 식을 생각보다 쉽게 찾을 수 있다.
예를 들어 3차 다항식의 인수분해를 활용하면, 세 수에서 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 식을 쉽게 만들수 있다. 인터넷을 검색하면 이 식은 쉽게 찾을 수 있다.
(A의 3승+B의 3승+C의 3승)-3AB를 인수분해하면 1/2(A+B+C)((A-B)^+(B-C)^+(C-A)^)이 된다.
즉 우측 식을 가만히 살펴보면, A=B=C가 같을때 0으로 가장 작은 값이 나올 것임을 알 수 있다.
(A의 3승+B의 3승+C의 3승)-3ABC는 0보다 크거나 같다란 식이 나오게 된다. 여기서 A를 A의 세제곱근, B를 B의 세제곱근, C를 C의 세제곱근으로 대입하면
(A+B+C)-3(ABC)의 세제곱근은 0보다 크거나 같은 수가 된다고 말할 수 있다.
즉 (A+B+C)/3은 A*B*C의 세제곱근보다 항상 크거나 같다는 식으로 증명될 수 있다.