작지만 큰 수학의 혁명(21), 절대와 상대
시험성적도 산술평균보다는 조화평균으로 매기는 것이 더 이로울 수 있다. 과목별 성적 편차만이 아니라 수험생의 시험대비 공부의 효율성차원에서도 이점이 있다. 대개 50점을 맞은 과목을 70점을 맞도록 공부하는 것과 80점 과목을 90점을 맞기 위해 공부하는 것은 후자가 더 많은 노력을 기울이게 된다. 평균 성적을 올리는 방법으로 낮은 점수 과목을 더 높이는 게 쉬울수 있다는 것이다. 1인당 국민소득은 총국민소득을 국민수로 나누는 산술평균이다. 계산의 어렴움이 있지만, 1인당 국민소득은 생산물의 점유율이란 점에서 조화평균으로 계산해주는 게 타당하다. 산술평균은 사회적 갈등과 소득 창출의 지속성 면에서 지표로서는 오류 투성이인 지표라고 할 수 있다. 초 갑부의 소득을 10% 올리는 것보다, 저소득자들의 소득을 20%올리는 것이 사회갈등 면이나 사회의 지속성에서 훨씬 나을 수 있다는 것이다. 결국 1인당 국민소득도 조화평균으로 구하고 조화평균값을 올리는 노력을 기울인다면, 사회적 최적 효율성을 올리는 노력과 직결될 수 있는 것이다.
사회와 자연과학의 수리적 지표는 사실 절대치란 거의 없다고 볼 수 있다. 아직 쉽게 이해하고 설명할 수 있는 근거는 부족하지만, 부피나 무게 뿐 아니라, 시간도 상대적 지표라고 하듯이 절대적 지표는 거의 없다. 그렇다면, 많은 자격증 시험은 절대 평가라고 하고 있고, 수능에서 영어 등은 절대평가라고 하는 것은 왜인가? 이는 말장난에 불과하다. 절대 평가란, 순위적 개념을 제거시켰다는 의미일뿐, 시험의 난이도와 결국에는 선발 학생의 제한에 따라 상대성은 제거되지 못한다.
문제는 이런 상대수치들을 우리가 배우고 익힌 사칙연산으로 모두 적용하는 게 타당할까이다. 절대치에 가장 가까운 수효에 관한 사칙연산은 오류가 많이 없지만, 부피간의 합, 무게의 합 등에서는 절대적 사칙연산은 상당히 큰 오류를 보인다는 것이다.
무게의 합을 구하는 것도, 공기 무게와 비슷한 수준의 물질의 무게합을 구한다면, 우리가 배우고 있는 절대적 개념의 덧셈은 오류를 보인다. 이를 생각하기 전에 먼저 상대값인 낙하속도의 합을 생각해보자. 낙하속도는 당연히 상대비이기에 절대값의 합으로 구할 수 없다는 것은 많은 이가 알고 있다.
그러나 한번 생각해보자. 돌 한개와 돌 두개를 묶어서 떨어뜨렸을때 낙하속도는 거의 같다. 이유는 낙하속도가 무게와 상관이 없기 때문이 아니라, 부피분의 무게라는 상대값, 또는 두 돌의 무게/부피비의 평균에 비례하기 때문이라고 할 수 있다. 그리고 평균은 분모는 분모끼리 더하고 분자는 분자끼리 더한 값이라고 할 수 있다.
이런 사칙연산을 우리가 현재 쓰고 있는 절대 사칙연산에 대해 상대 사칙연산이라고 명명해보자. 그럼 공기와 무게가 비슷한 물질의 두 무게합은 절대 사칙연산으로 구하는 게 옳을지, 상대 사칙연산으로 구하는게 옳을지 생각해보자. 또 추가해서 물속에서 무게를 잰다는 상상을 해보자.
비중이 1에 가까운 물질을 물속에서 무게를 측정한다면, 그 값은 어떻게 되겠는가? 1개의 무게나 두개의 무게나 거의 같을 것으로 추정한다. 즉 비중이 물속에서는 무게가 된다고 보아야 하는 것이다. 공기속에서도 마찬가지로, 공기와 무게가 비슷한 물질은 무게 합이 절대사칙연산으로 구한 계산식으로는 표현할 수 없다는 것이다.
우리는 사회지표에서, 1인당 교육비랄지, 대기업의 1인당 임금 등 모두 산술평균으로 구하고 알리고 있다. 이게 타당할까? 물론 모두 산술평균보다 조화평균이 우위에 있다는 것은 아니다. 산술평균이든, 기하평균이든, 조화평균이든 필요에 따라 선택에 의해 우선 사용할 수 있을 수 있다는 것이다.