주어진 수 이하의 소수의 개수를 세는 방식은 리만함수외에 앞에서 설명했지만, 조금은 수작업이 많이가지만, 분명 정확하게 셀수 있다.
그러나 주어진 수 이하의 소수 개수는 대략적으로 사각수 개수와 밀접한 관계를 맺고 있어, 이를 연관지어 추정할 수 있다는 것이다. 핵심은 소수의 개수는 사각수개수와 연관되어있다이다.
주어진 수를 제곱근하면, 사각수 개수를 추정하고, 그 사각수 개수에 들어가는 가장 큰 삼각수가 자연수 N까지의 합이라면, 누적합 1부터 N까지 N의 제곱들의 합이 소수의 개수로 추정한다.
그리고 사각수가 가장 큰 삼각수를 빼고 남은 만큼, 다음 자연수의 제곱을 더해주면 된다.
가령 1000까지의 소수의 개수를 구한다면, 루트1000해서 가장 근사함 자연수 31을 얻으면, 사각수는 31개가 있다고 할 수 있다.
31보다 작은 가장 큰 삼각수는 28이고 28은 7까지의 합이므로 1부터 7의 제곱까지의 합을 구한다.
여기에 다음 자연수 8의 제곱은 31에서 28을 뺀, 3개를 더한다. 그럼, 략 164가 나오고, 정확한 삼각수의 수는 168개가 된다.