모든 짝수는 두 소수의 합으로 이뤄졌다는 골드바흐의 추측을 증명하는 문제는 의외로 쉽지 않다. 그것은 소수란 어떤 수인지 명확히 밝혀지지 않은 한계가 있다. 먼저 소수란 무엇인지부터 정리해야 한다. 모든 소수를 1의 차로 가르면, 3의 배수와 3의 배수에서 1크거나 작은 수로 구성되어 있음을 알 수 있다. 이를 식으로 쓰면 6N+1, 6N-1인 수이다.(2, 3을 제외하고)
그러나 모든 6N+1,6N-1이 모두 소수는 아니다. 합성수도 존재하는 데, 이때의 합성수는 다른 6M+1,6M-1인 수간의 곱의 수로 구성되어 있다.
먼저 합성수는 다음에 생각하고 소수가 6N+,-1인 수라면 6의 배수 간격에 2개의 소수가 존재한다는 것을 알 수 있다. 이 두수를 서로 더해서 만들 수 있는 짝수는 6의 배수간격차이에 3개이며, 원래 6의 배수간격에 짝수는 3개로 모든 짝수에 해당하는 것이다.
그럼 이번에는 6의 배수에서 1보다 크거나 작은 수는 다른 6의 배수에서 1보다 크거나 작은 수간의 곱인 합성수가 포함되어 있는 이때문에 모든 짝수를 구성하지 않을까 생각해보자. 그런데 먼저 직관적으로 6의 배수에서 1보다 크거나 작은 수에서 합성수는 6N+1,-1의 곱에 비례한다는 것이다. 그러나 짝수를 표현하는 6N+1, -1인 소수는 합의 과정으로 수를 표현하기에 수가 커질 수록 곱은 합인 수보다 적어진다는 것이다.
또 다음을 보자.
짝수 50을 소수로 가른다면, 25대 25로 가를 수 있으나, 25는 소수가 아니다. 6N+1에서 N이 4인 수이다. 이수는 다른 6N+-1의 수간의 곱이 수인 것이다.
그러면, 25를 대체할 소수는 그보다 6크거나 작은 수에서 찾을 수 있다. 17과 31이다. 그런데 만약 연속해서 17이나 31이 소수가 아닌 수가 등장할 수 는 있을까?
등장할 수 있지만, 6N+-1에서 N이 2N 사이에서 합성수는 곱의 관계로 나타나기에, 모두 소수가 아닌수가 등장하지는 않을 것이다.