앞서서, 수열의 누적합의 수렴조건이 각 항을 모두 역수로 취해 나열한뒤, 셋째항에서 둘째항의 차가, 둘째항에서 첫째항의 차보다 크면 수렴한다고 했는데, 이는 등비급수도 포함하는 조건이 된다.
그런데 우리는 등비급수의 수렴조건을 별도로 가지고 이를 토대로 등비급수에 한해서 문제풀이를 하고 있다. 공비(등비)가 -1보다 크고 1보다 작다는 조건에 값을 대입하는 것이다.
가령 1, 2분의 r, 4분의 r^--의 수렴하도록 r의 값을 푼다면 등비급수이니까 기존 공식을 이용 2분의 r이 -1보다 크고 1보다 크거나 같다만 푼다.
그러나 등비급수를 포함한 등비는 아닌지만 감소함수나 증가함수에 적용될 수 있는 역수 수열의 셋째항과 둘째항 차가, 둘째항과 첫째항의 차보다 커야 한다는 식으로 문제를 풀어도 답은 똑같이 나온다. 즉 역수로 1, r분의2, r^분의 4--로 생각해 r^분의 4+r^이 r분의 4보다 크면 된다고 하고 풀면 r의 답은 -2보다 크고 2보다 작으면 된다.
또한 수열의 교대식 풀이법은 등비 급수의 누적합을 계산하는데도 쉽게 활용할 수 있다.
2분의 1의 n승 수열의 누적합을 구하는 방법도, 1-2분의1+2분의 1-4분의1+4분의1-8분의1+8분의 1--- 하는 식의 값은 1이다는 것을 쉽게 알 수 있다.
즉 이 식을 바꿔쓰면, 2분의 1+4분의1+8분의 1+---이 되고 결국 이 식의 값도 1이라는 것을 알 수 있다.
우리가 걸어온 역사도 우리가 선택할 수 있는 길중 하나였다고 한다면, 수학 풀이 과정의 다양성을 인정해야 한다. 다만 학생들이 말하는 야메식이 아닌 다양성을 구분하는게 필요하지만.