소수는 숫자가 커질수록 희박해짐으로, 혹시 유한하지 않을까 혼동한다. 그러나 그런 우려는 제곱수와의 소수의 연관성, 또는 세제곱수와 소수의 갯수 비교를 통해서 가시게 할 수 있다.
제곱수는 숫자가 커질수록 출현 빈도가 희박하지만, 무한하다. 따라서 제곱수의 밀도와 소수의 밀도, 또는 쌍둥이 소수의 밀도를 비교해보면, 숫자가 커질수록 제곱수의 밀도보다 소수 쌍둥이 소수의 밀도가 더 커진 것을 확인하면 정리될 수 있다고 생각한다.
제곱수와 소수, 쌍둥이 소수의 연관성은 앞에서 지적했고, 세제곱수와 쌍둥이 소수의 갯수와 규칙성을 비교해보았다. 결론은 제곱수나 세제곱수의 숫자가 커질수록 소수와 쌍둥이 소수는 밀도나 갯수가 늘어나는 경향을 보인다고 할 수 있다.
다음은 쌍둥이 소수를 세제곱수 사이에 넣어 숫자를 세어볼 수 있도록 만들어보았다. 괄호 밖의 수가 세제곱수이다. 이를 보면, 쌍둥이 소수는 거의 자연수 단위로, 세제곱수가 출현할때, 늘어난다고 볼 수 있다.
(3, 5), (5, 7), 8
(11, 13), (17, 19), 27
(29, 31), (41, 43), (59, 61), 64
(71, 73), (101, 103), (107, 109), 125
(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), 216
(227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), 343
(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), 512
(521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), 729
(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883), 1000
(1019, 1021), (1031, 1033), (1049, 1051), (1061, 1063), (1091, 1093), (1151, 1153), (1229, 1231), (1277, 1279), (1289, 1291), (1301, 1303), (1319, 1321), 1331
(1427, 1429), (1451, 1453), (1481, 1483), (1487, 1489), (1607, 1609), (1619, 1621), (1667, 1669), (1697, 1699), (1721, 1723) 1728
(1787, 1789), (1871, 1873), (1877, 1879), (1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), (2081, 2083), (2087, 2089), (2111, 2113), (2129, 2131), (2141, 2143), 2197