아무도 알아주지 않는 글을 써대기를 수십년, 지친다. 하루하루가 지옥같다. 자고 일어나면, 또 돈을 굴려 카드값을 막아야하고, 숨돌릴 틈이 없다. 하지만, 억만금을 준다해도 바꾸고 싶지 않은 나의 발견품들은 헐값에라도 팔리지 않는다. 알아주지 않는 것이다. 내 입으로 이거 진짜 좋은 것이다고 선전 선동을 해야하는 낯부끄러움을 이겨내야 살 수 있을까. 그렇게라도 해서 이 경제적 곤궁을 벗어날 수 있다면 할 것이겠지만 교과서와 챗GPT는 나의 발견들을 다루어주지 않느다. 앞에서 몇 번 쓴 것이지만, 다시 그만큼 가치가 있기에 톱으로 끌어올려 쓴다. 딱 잘라 말해 기하평균을 구하는 방법은 산술평균과 조화평균을 구하고 그 두 평균의 산술평균과 조화평균을 구하고 또다시 그 두 평균의 산술평균과 기하평균을 구해나가는 방식으로 구하는 것이다. 

이는 거듭제곱근을 푸는 방법이랑 같다. 만약 N의 3제곱근을 풀라하면 어떤 세수를 곱해 N이 되는 세 수를 임의로 정한뒤, 이 세수의 산술평균과 조화평균을 구한뒤, 다시 그 평균의 산술평균과 조화평균을 구하면 되는 것이다. 

그러나 교과서는 물론이고 챗GPT에 기하평균을 어떻게 구하냐고 했더니, 모두 곱한뒤 곱한수의만큼의 거듭제곱근을 취하라고만 할 뿐이다. 

다음은 챗GPT의 답변이다. 

'기하평균(Geometric Mean)을 구하는 방법은 여러 값의 곱의  제곱근을 구하는 방식입니다. 즉 주어진 값들을 모두 곱합니다. 다음으로. 그 결과에 제곱근을 취합니다. (즉, 곱한 값의 1/n 승을 계산)하면 됩니다'

그리고 친절하게 '주어진 값이 3, 6, 9일 때 162의 3제곱근이 기하평균이고 이를 풀면 근사값 5.39라고 답했다. 

그래서 162의 3제곱근이 5.39는 어떻게 구하느냐고 했더니 챗GPT는 계산기를 쓰라고 했다. 아니 계산기가 아닌 수작업으로 구한다면 또 물어봤다. 그랬더니 다음과 같이 대답했다.

'계산기 없이 162의 3제곱근을 정확히 구하는 것은 수작업으로는 매우 어렵지만, 근삿값을 구할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다. 그중 하나는 뉴턴-랩슨 방법(Newton-Raphson method)과 같은 반복적인 근사법을 사용하는 방법입니다.

1. 근삿값 추정 후 반복 계산 (뉴턴-랩슨 방법)

이 방법은 특정 값의 근삿값을 빠르게 계산할 수 있습니다. 목표는 를 만족하는 를 찾는 것입니다.

단계:

1. 근삿값 추정: 의 3제곱근은 5와 6 사이일 것으로 예상됩니다. 왜냐하면 이고 이기 때문입니다. 초기 근삿값을 로 시작하겠습니다.

2. 뉴턴-랩슨 공식: 3제곱근을 구하는 일반적인 뉴턴-랩슨 공식을 적용하면,

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - a}{3x_n^2}

여기서 는 구하려는 값(162)이고, 은 현재 근삿값입니다.

3. 계산 과정:

초기 값으로 를 사용.

이 과정을 반복하면 점점 더 정확한 3제곱근 값에 근접하게 됩니다.

2. 로그를 활용한 계산:

또 다른 방법은 로그를 이용하는 것입니다.

1. 주어진 값을 자연로그(ln)로 변환합니다.

\ln(162) \approx 5.0876

2. 이 값을 3으로 나눕니다.

\frac{5.0876}{3} \approx 1.6959

3. 그 값을 다시 지수로 변환합니다.

e^{1.6959} \approx 5.45

이 방법을 통해 에 가까운 값을 얻을 수 있습니다.

결국, 계산기 없이도 근삿값을 구할 수 있지만, 시간이 많이 걸리고 반복적인 과정을 거쳐야 합니다.'

아 경제적 압박에 답답한 가슴에 숨이 막히는 심정이다.