사각삼각수의 출현은 규칙성이 있어
, 생각보다 쉽게 구할 수 있다
. 우선 홀수 사각수는
8
삼각수
+1이므로 해당 삼각수 자리에 사각수를 집어넣어 식이 만족하면 사각삼각수가 된다는 것이다
.
가령
81(사각수로서
1)+1은
9라는 사각수가 나오므로
1은 사각삼각수이다
. 그리고 그 다음의 사각수
4와
9, 25, 36을 차례로 넣으면
36을 넣었을 때
, 289라는
17의 제곱인 사각수가 나오므로
36이 사각삼각수임을 알 수 있다
.
그러나 이 수가 커질수록 계산이 복잡해진다. 따라서 굳이 이 방식을 계속 고집할 필요가 없다. 왜냐하면 사각삼각수는 앞에서 나온 사각삼각수의 특징만으로 뒤에 나오는 사각삼각수를 찾아갈 수 있기 때문이다.
즉 첫번째 사각삼각수가 1이란 것만 안다면, 1은 마지막 더하는 자연수 즉 1에 두배를 해주고 +1을 해준뒤, 제곱하고 다시 -1을 하면 두번째 사각삼각수가 되는 자연수의 마지막 합이 된다.
즉 1에서 2배 +1은 3이되고 이를 제곱하고 -1을 하면 8이며, 자연수 8까지 누적합은 36이므로 36이 두번째 사각삼각수가 되는 것이다.
세번째 사각삼가수는 두 사각삼각수의 제곱근의 합인 1+6은 7이므로 이의 제곱인 49까지의 누적합인 삼각수가 세번째 사각삼각수가 된다. 이것은 1225가 된다.
다시 보면 홀수번째 사각삼각수는 그 이전의 사각삼각수 2배+1번째까지 제곱근 한 값의 누적합의 제곱한 값을 누적으로 더한 삼각수가 되는 것이다.
짝수번째 사각삼각수는 2로 나눈번째의 사각삼각수의 최종 누적합인 자연수에 2를 곱해주고 +1을 한 값에 -1한 수까지 연속하는 자연수를 더한 삼각수가 사각삼각수가 된다는 것이다.
따라서 사각삼각수는 첫번째 사각삼각수가
1이란 것만 알면 차례로 모두 구할 수 있는 것이다
. 사각삼각수의 출현은 규칙성이 있어
, 생각보다 쉽게 구할 수 있다
. 우선 홀수 사각수는
8삼각수
+1이므로 해당 삼각수 자리에 사각수를 집어넣어 식이 만족하면 사각삼각수가 된다는 것이다
.
가령
81(사각수로서
1)+1은
9라는 사각수가 나오므로
1은 사각삼각수이다
. 그리고 그 다음의 사각수
4와
9, 25, 36을 차례로 넣으면
36을 넣었을 때
, 289라는
17의 제곱인 사각수가 나오므로
36이 사각삼각수임을 알 수 있다
.
그러나 이 수가 커질수록 계산이 복잡해진다. 따라서 굳이 이 방식을 계속 고집할 필요가 없다. 왜냐하면 사각삼각수는 앞에서 나온 사각삼각수의 특징만으로 뒤에 나오는 사각삼각수를 찾아갈 수 있기 때문이다.
즉 첫번째 사각삼각수가 1이란 것만 안다면, 1은 마지막 더하는 자연수 즉 1에 두배를 해주고 +1을 해준뒤, 제곱하고 다시 -1을 하면 두번째 사각삼각수가 되는 자연수의 마지막 합이 된다.
즉 1에서 2배 +1은 3이되고 이를 제곱하고 -1을 하면 8이며, 자연수 8까지 누적합은 36이므로 36이 두번째 사각삼각수가 되는 것이다.
세번째 사각삼가수는 두 사각삼각수의 제곱근의 합인 1+6은 7이므로 이의 제곱인 49까지의 누적합인 삼각수가 세번째 사각삼각수가 된다. 이것은 1225가 된다.
다시 보면 홀수번째 사각삼각수는 그 이전의 사각삼각수 2배+1번째까지 제곱근 한 값의 누적합의 제곱한 값을 누적으로 더한 삼각수가 되는 것이다.
짝수번째 사각삼각수는 2로 나눈번째의 사각삼각수의 최종 누적합인 자연수에 2를 곱해주고 +1을 한 값에 -1한 수까지 연속하는 자연수를 더한 삼각수가 사각삼각수가 된다는 것이다.
따라서 사각삼각수는 첫번째 사각삼각수가 1이란 것만 알면 차례로 모두 구할 수 있는 것이다.
