페르마 소정리와 윌슨의 정리를 증명하는 방법은 많이 있지만, 인과적인 서술 정리는 거의 찾아보기 힘들다. 따라서 맣은 수리적인 증명은 오래 기억할 수도 없고, 왜 그렇게 되는지 이해하기 힘들다. 우리의 교육이 대대적인 혁신을 거쳐야하는 이유다.
페르마 소정리와 윌슨의 정리를 이해하는 핵심 근거는 소수라는 점에 있다. 소수는 해당 소수보다 작은 모든 자연수와 소인수를 공유하지 않고, 공유하지 않는다는 것은 나누어 떨어지지 않는다는 것에 주목해야 한다. 그런데, 3으로 나누어 떨어지지 않는 수를 나타내면 3N+-1, 3N+--2라 할수 있고, 2로도 떨어지지 않는 수는 2M+-1이 될 것이다.
그렇다면 소수앞의 모든 자연수로 나누어떨어지지 않는 수는 +1, -1일 것이고 윌슨의 정리에서 팩터리얼앞에, 나머지가 소수보다 1작은, 가장 마지막으로 곱해준 수가 나머지가 되는 것이다. 이는 역으로 나머지가 -1이 된 것과 같은 것이다.
페르마의 소정리에서는 지수가 소수보다 1작은 수라면, 거듭제곱수의 -1을 해준수가 해당 소수의 배수가 된다는 것이다. 앞에 말한 밑수가 소수와 서로소이고, 거듭제곱 값은 해당 소수로 나누었을때, 나머지가 +1이 되는 것이다.
그런데 윌슨의 정리에서 나머지가 -1이고 페르마소정리에선 나머지가+1인 이유는 한가지를 더 알아야 한다. 그것은 소수란 6N+,-1인 수는 소수이거나, 합성수라면 다른 6M+-1이 수간의 교차곱이란 점이다.
이를 잘보면, 윌슨의 정리는 패터리얼 마지막 수간의 곱을 소수로 나누었을대, 몫이 2의 배수나, 6의 배수일때, 나머지가 마지막 곱하는 수라는 것이다. 페르마 소정리에서도 마찬가지로, 나머지가 +1이 되어야 하는 것은 6N+-1의 곱이기 때문이다.
단 2와 3일때는 2와 3을 제외한 모든 소수의 곱은 6N+-1이고 이들간의 제곱은 6N+1이고 이 수를2와 3으로 나누면 나머지가 +1인 것은 당연하다고 할 것이다.
참고로 윌슨의 정리에서 팩터리얼에 +1 해준수가 소수로 나뉘고, 페르마소정리에서 거듭제곱한 수에서 -1해준수가 소수로 나뉜데 대해선 다시한번 정리해서 소개할 계획이다.
그럼에도 이 둘다 소수 판정법으로선 그다지 뛰어나지 못하다는 점은 단점이다.