모든 산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 같다는 것을 하나의 식으로 증명하기는 매우 어렵다. 세 수에 있어서도 어렵지만, 네 수 닷섯 수로 넘어가면 매우 복잡하다.
하지만, 식 대신 수리적인 서술관계의 대소로 이해하면, 식은 아니더라도 이해하는게 유리할 수 있다. 합이 일정하다면, 서로 수가 같을때, 곱이 가장 크고, 곱이 일정하다면, 서로 수가 같을때, 합이 최소가 된다고 했다는 식 말이다.
그리고 합이 일정하다고 한다면, 산술평균의 값이 일정할때, 두 수의 곱은 (산술평균 빼기 -a)(산술평균+a)이므로, a가 커질수록 이 곱의 값이 작아진다는 것을 알 수 있다.
그러면 곱이 일정하다면 합이 최소가 되는 것은 어떻게 이해할건가. AB=K라 새악하고 K가 일정하면 A가 산술적으로 증감하면, B는 역수로 증감하기에 두 수의 합은 A가 커진만큼, B가 상쇄하지 못하기에 1보다 커진다고 할 수 있다.
즉 곱이 일정할때, 합이 최소가 되는 이유는 산술적인 증감에 상대 수의 크기는 역수의 증감으로 나타나기에 이의 합은 항상 1보다 크다는 것이다. 2가 커지면, 역수 1/2 감소로 나타나서 합은 1보다 크다는 것이다.