산술평균은 기하평균보다 항상 크거나 같다고 배운다. 하지만 이를 증명하는 것은 기껏해야 두 수, 또는 세 수에서 이뤄지고 있다.
결국은 이해하는 방법의 차이라고 보여지는 데
산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 작다를 N개의 정수에서 합이 같다면, N개 모두 같을때, 곱이 가장 크고, N개의 곱이 같다면, N개 모두 같을때, 합이 가장 작다고 이해하는 것은 어떤지 생각해보자는 것이다.
이를 증명하는 법도 다음과 같이 생각해볼 수 있다. 두 수에서 이를 증명하는 방법은 어떤 수든지 두수는 산술평균+a와 산술평균-a로 다시 쓸 수 있다. 즉이 이 합이 같다면, 산술평균은 항상 같은데 이 두수의 곱은 산술평균^-a^이 되므로, 이 값은 a의 절대값이 작을수록 0이 되면 가장 크다는 것이다.
이런 식으로 풀어가면 충분히 증명도 쉽게 될 수 있다. 나아가 이는 산술 기하평균의 새로운 증명법도 만들 수 있을 것으로 생각한다.