홀수 완전수가 없다는 것을 아주 쉽게 증명할 방법이 마땅치 않다. 해서 가장 단순한 구조로부터 홀수 완전수가 없을 수밖에 없는 것을 추정토록 해본다.
두 홀수 소수의 곱에서 1을 뺀 수와 같은 홀수 소수의 합은 같을 수가 없는 근거로, 곱에서 1을 뺀 수가 4의 배수라면, 합은 2의 배수가 되기 때문이다. 역으로 곱에서 1뺀 수가 2의 배수라면, 합은 4의 배수가 된다는 것을 가설로 삼으면 이해된다는 것이다. 즉 2로 양변을 나누면 한쪽은 홀수가 되고 다른 변은 짝수가 되는 것이다.
완전수란 진약수의 합이 자기 자신과 같은 수를 말한다. 이를 식으로 쓰면, 약수의 전개는 자기 자신을 소인수분했을때, 소인수 N차항까지의 등비급수간의 곱으로 인수분해된다. 약수 합이 잔기 잔스이 2배가 되는 식의 꼴이 되는 것이다.
가령 6의 약수 전개는 1+2+3+6이고 이를 인수분해하면, 6은 소인수 2와 3의 곱이므로 인수분해꼴로 쓰면(1+2)(1+3)이 된다는 것이다.
그런데, 홀수 완전수를 찾으려면 소인수가 모두 홀수에 해당하게 되고, 그런 이를 근거로, 소인수 N차항과 다른 소인수 M차항의 최종 곱에서 -1을 뺀 수는 나머지 1을 뺀 진약수의 합이 한편은 4의 배수가 된다면, 한편은 4로 약분되지 않는 다른 것이다. 이를 다시 표현하자면, 양변을 2로 나누면 한쪽은 짝수 한쪽은 홀수가 된다는 것이다.
이와 같은 방식으로 짝수와 짝수로 이뤄진 짝수 또한 완전수를 가질 수 없고, 오직 홀수 소수(메르센 소수)곱과 2의 짝수제곱의 곱의 꼴만이 존재한다는 것이다. 이는 다음에 다시 보자.