소수가 무한하다는 것을 증명하는 방법은 여러가지가 있다. 유클리드 수정방법도 될 것이고, 간접적으로 소수의 희귀성과 사각수 등의 희귀성을 비교할 수도 있다. 연속하는 두 사각수 제곱근 사이에는 반드시 소수가 존재한다고 하는 방법이다.
여기서는 그보다 가장 쉽게 이해할 수 있는 것이 항상 소수가 되는 방정식을 만들면 된다.
그 방정식도 여러가지가 있겠지만, 먼저 6N+1인 꼴의 소수가 무한하다는 것을 증명할 방정식을 소개한다.
36(36a^b^-(a+b)^+또는-1)+1은 a,b가 자연수일때 항상 소수이다.
이같은 방식으로 좀 복잡하지만 쌍둥이 소수도 무한하다는 것을 증명할 수 있다.