페르마의 소정리는 증명은 쉬운 것 같으면서 이해가 어렵다. 그래서 새로운 증명법이 필요하고 새 증명법 초안을 소개한다.
페르마의 소정리를 증명하기 이해서 먼저 일반적인 정리가 필요하다. a의 N제곱에서 a와 N이 서로소이고 N이 소수라면, a의N제곱을 N으로 나누었을때 나머지는 a>n이면, A-N이 되고 a<N이라면 a가 나머지가 된다는 것이다.
이유는 무엇일까? 간단하다. 소수는 6M+1 또는 -1로 존재하며 A의 N제곱과 A의 K제곱(N과 K가 소수이고 N 다음 소수가 K)차는 6의 배수이다는 것이다. 따라서 A의 N제곱과 A의 K제곱을 N과 K로 나누어도 6배수차이므로 나머지는 똑같다는 것이다.
또 지수가 소수간의 차는 가령 2의 5제곱과 2의 7제곱의 차를 구하는 것은 (2의 제곱-1)(2의 5제곱)이되고 2의 제곱-1은 3의 배수이지만, 밑수가 2이기 때문에 6의 배수 차가 된다. 지수가 7과 11일때도 2의 4제곱-1이 3의 배수인건 다알것이다.
밑수가 3일때는 소수지수간의 차가 2의 배수가 된다. 그런데 밑수가 3이므로 6의 배수 차가 되는 것이다.
5이상의 소인수를 가진 밑수는 당연히 지수가 짝수일때 -1일때 모두 6의 배수가 된다. 5이상의 소수는 6M+1이거나 6M-1이기에 이를 짝수제곱해서 -1 하면 모두 6의 배수가 되기 때문이다.
이해를 위해 밑수가 2인 경우를 한번 써본다
2의 3제곱을 3으로 나눈 나머지는 2가 되는 것은 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 그럼 2의 5제곱을 5로 나누면 나머지가 2가 되는 것은 2의 5제곱-2의 3제곱이 3*2의 3제곱이란 것을 쉽게 알것이다. 이 차는 6의 배수가 되는 것이다.
즉 원래의 나머지가 다시 등장하는 것이다.
그럼 여기에서 2의 5제곱-1은 나머지가 1이 나온것은 가장 간단한 식을 써보자 2의 5제곱=5*X+2가 되고 양변에서 2를 빼어주면
2의 5제곱-2=5*X가 될 것이다. 이는 2*(2의 4제곱-1)=5*X가 되고 양변을 2로 나누고 양변에 +1을 해주면 2의 4제곱=5*X/2+1이 나온다.
나머지가 1인 것이다. 참고로 X는 2의 배수이다. 왜 2의 배수인지 깊이 생각해보면 항상 밑수의 배수가 된다는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 어쨌든 이로써 페르마의 소정리가 증명되는 것이다.